AMC 8 · 2010 · #14

학년 4 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

prime-factorizationprime-numbersmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorizationprime-numbers

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

2010 을 나누어떨어지게 하는 소수(prime) 들을 모두 찾고, 그 소수들을 더한 값을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

201

(E)

210

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

2010 을 한 번에 인수분해하기는 부담스러우니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작은 소수 (2, 3, 5, …) 부터 하나씩 떼어내며 점점 작은 나눗셈 문제로 줄입니다. 매 단계가 머릿속으로 처리 가능한 작은 문제가 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 객관식 안전망 역할로, 후보 합을 다섯 선택지와 비교해 나머지를 배제하는 데 사용합니다.

1STEP 1

2010 은 0 으로 끝나는 짝수이므로 2 로 나누어 1005 를 얻습니다.

2010 ÷ 2 = 1005

2STEP 2

자릿수 합 1+0+0+5 = 6 이 3 의 배수이므로 1005 를 3 으로 나누면 335 입니다.

1005 ÷ 3 = 335

3STEP 3

335 는 5 로 끝나므로 5 로 나누어떨어지고, 나누면 67 이 됩니다.

335 ÷ 5 = 67

4STEP 4

√67 ≈ 8.2 까지 어떤 소수도 67 을 나누지 못하므로 67 은 소수이고 2010 = 2 × 3 × 5 × 67 입니다.

2010 = 2 × 3 × 5 × 67

5STEP 5

서로 다른 소수를 더하면 2 + 3 + 5 + 67 = 77, 정답은 (C) 입니다.

2 + 3 + 5 + 67 = 77 → (C)

정답

인수분해를 거꾸로 곱해 검산합니다: 2 × 3 = 6, 6 × 5 = 30, 30 × 67 = 2010. 곱이 맞아떨어지므로 소인수 집합 {2, 3, 5, 67} 이 정확하고, 합 2 + 3 + 5 + 67 = 77 도 맞습니다. 크기 감각으로도 작은 소수 셋과 중간 크기 소수 하나의 합인 (C) 77 은 자연스러운 값입니다.

💡핵심 정리

2010 같은 큰 수도 작은 소수부터 하나씩 떼어내면 금방 풀려요 — 4학년 인수 찾기 실력이면 충분합니다!

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