경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2010 · #14

학년 4 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

prime-factorizationprime-numbersmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorizationprime-numbers

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

2010을 나누어떨어지게 하는 소수(prime) 들을 모두 찾고, 그 소수들을 더한 값을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

201

(E)

210

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

2010을 한 번에 인수분해하기는 부담스러우니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작은 소수 (2, 3, 5, …)부터 하나씩 떼어내며 점점 작은 나눗셈 문제로 줄입니다. 매 단계가 머릿속으로 처리 가능한 작은 문제가 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 안전망 역할로, 후보 합을 다섯 선택지와 비교해 나머지를 배제하는 데 사용합니다.

1STEP 1

2로 나누기

2010은 0으로 끝나는 짝수이므로 2로 나누어 1005 를 얻습니다.

2010 ÷ 2 = 1005

2STEP 2

3으로 나누기

자릿수 합 1+0+0+5 = 6이 3의 배수이므로 1005를 3으로 나누면 335 입니다.

1005 ÷ 3 = 335

3STEP 3

5로 나누기

335는 5로 끝나므로 5로 나누어떨어지고, 나누면 67 이 됩니다.

335 ÷ 5 = 67

4STEP 4

67이 소수인지 확인하기

√67 ≈ 8.2까지 어떤 소수도 67을 나누지 못하므로 67은 소수이고 2010 = 2 × 3 × 5 × 67입니다.

2010 = 2 × 3 × 5 × 67

남은 몫이 소수가 되는 순간 쪼개기 연쇄가 끝납니다.

2010의 소인수분해는 2 × 3 × 5 × 67이므로, 서로 다른 소인수는 정확히 2, 3, 5, 67이다.

▸ 왜?

네 인수를 다시 곱하면 2010이 되므로, 2 × 3 × 5 × 67은 문제가 출발한 바로 그 수를 가리킨다.

▸ 왜?

각 벗겨내기 단계는 나누어떨어지는 나눗셈이었고, 나누어떨어지는 나눗셈은 곱셈을 되돌리는 것이므로 5 × 67 = 335, 3 × 335 = 1005, 2 × 1005 = 2010이 각각 성립하며 한 단계씩 2010을 다시 쌓아 올린다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

인수를 어떻게 묶든 곱은 변하지 않으므로, 중첩된 2 × (3 × (5 × 67))은 나란히 편 곱 2 × 3 × 5 × 67과 같은 수이다.

곱셈의 결합법칙세 수를 곱할 때 어느 둘을 먼저 묶든 곱은 같다.

▸ 왜?

이 넷이 바로 소인수인 까닭은, 각각이 소수이고 벗겨내기는 남은 수가 스스로 소수가 되었을 때에만 멈췄기 때문이다. 그래서 빠뜨린 것도 없고 더 쪼갤 수 있는 것도 없다.

▸ 왜?

2, 3, 5는 앞쪽의 소수들이고, 67은 오직 67개짜리 한 줄로만 놓일 뿐 2부터 8까지 어떤 같은 줄 수로도 고르게 채워지지 않으므로, 각 인수는 소수이며 안에 더 작은 인수를 숨기지 않는다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

2, 3, 5, 67이 각각 소수이므로 2 × 3 × 5 × 67은 2010을 소수의 곱으로 나타낸 것이고, 1보다 큰 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로만 소수의 곱으로 나타나므로 이것이 완전한 목록이다. 즉 2010을 나누는 다른 소수는 없고, 이 넷 중 어느 하나도 뺄 수 없다.

소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.

4.OA.B.4Identify Subproblems

5STEP 5

소인수 모두 더하기

서로 다른 소수를 더하면 2 + 3 + 5 + 67 = 77, 정답은 (C)입니다.

2 + 3 + 5 + 67 = 77 → (C)

정답

인수분해를 거꾸로 곱해 검산합니다: 2 × 3 = 6, 6 × 5 = 30, 30 × 67 = 2010. 곱이 맞아떨어지므로 소인수 집합 {2, 3, 5, 67}이 정확하고, 합 2 + 3 + 5 + 67 = 77도 맞습니다. 크기 감각으로도 작은 소수 셋과 중간 크기 소수 하나의 합인 (C) 77은 자연스러운 값입니다.

💡핵심 정리

2010 같은 큰 수도 작은 소수부터 하나씩 떼어내면 금방 풀려요 — 4학년 인수 찾기 실력이면 충분합니다!

2로 나누기
3으로 나누기
5로 나누기
67이 소수인지 확인하기
소인수 모두 더하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

2로 나누기

3으로 나누기

5로 나누기

67이 소수인지 확인하기

소인수 모두 더하기

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