AMC 8 · 2010 · #2

쉬운 모드 학년 6

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문제

새로운 기호 $@$ 가 있다고 생각해봅시다. $a @ b$ 라고 쓰면, 먼저 $a$ 와 $b$ 를 곱한 다음, 그 값을 $a + b$ 로 나누는 거예요.

즉 $a @ b = \frac{a\times b}{a+b}$ 입니다.

그러면 $5 @ 10$ 의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{10}$

(B)

(C)

(D)

$\frac{10}{3}$

(E)

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 $a$, $b$ 에 대해 새로운 연산 $@$ 가 $a @ b = \dfrac{a \times b}{a + b}$로 정의되어 있습니다. $5 @ 10$의 값을 구해 다섯 개의 선택지 중 알맞은 것을 고르는 문제입니다.

주어진 것: 양의 정수 $a$, $b$ 에 대한 규칙 $a @ b = \dfrac{a \times b}{a + b}$; 구하는 구체적 입력 $a = 5$, $b = 10$; 선택지: (A) $\tfrac{3}{10}$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $\tfrac{10}{3}$, (E) $50$

구하는 것: $5 @ 10$의 값(기약분수 형태)

이해

계획

주요 도구: #9 특수한 경우 대입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #14 검산하기

규칙 $a @ b = \dfrac{a \times b}{a + b}$은 문자로 적혀 있지만, 묻는 것은 $a = 5$, $b = 10$ 한 경우뿐입니다. 도구 #9(특수한 경우 대입하기)는 일반 공식을 추론하지 말고, 주어진 값을 그대로 대입해 계산하라고 알려 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 작업을 분자 $5 \times 10$, 분모 $5 + 10$, 분수 약분 세 조각으로 깔끔히 나눠 줍니다. 도구 #14(검산하기)로 결과가 기약분수이고 선택지와 일치하는지 마지막에 확인합니다.

실행 — 정답: D

#9 특수한 경우 대입하기 6.EE.A.2 단계 1

5와 10 대입하기

규칙의 모든 $a$ 자리에 $5$를, $b$ 자리에 $10$을 대입합니다.

$$5 @ 10 = \dfrac{5 \times 10}{5 + 10}$$

💡 문자로 적힌 공식에 구체적인 수를 대입하는 것은 6학년 "변수의 특정 값에서 식을 평가하기" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.C.7 단계 2

분자 계산하기

분자를 계산합니다.
한 자리 수와 $10$의 곱.

$$5 \times 10 = 50$$

💡 $100$ 이내의 곱셈은 3학년 기본 연산 — $10$을 곱하는 것은 $0$ 하나를 붙이는 것과 같습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.OA.C.6 단계 3

분모 계산하기

분모를 계산합니다.
두 수의 단순 덧셈.

$$5 + 10 = 15$$

💡 $20$ 이내의 덧셈은 1학년 기본 연산입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 4

분수로 합치기

위에서 구한 분자와 분모로 분수를 조립합니다.

$$\dfrac{5 \times 10}{5 + 10} = \dfrac{50}{15}$$

💡 쪼개 둔 조각을 다시 합치는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 마무리 단계입니다.

#14 검산하기 4.NF.A.1 단계 5

분수 약분하기

$\dfrac{50}{15}$의 분자와 분모를 공약수 $5$로 나누어 약분합니다.

$$\dfrac{50}{15} = \dfrac{50 \div 5}{15 \div 5} = \dfrac{10}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 분자와 분모를 같은 수로 나눠 동치분수를 얻는 것은 4학년 "동치분수" 표준이며, 결과 $\tfrac{10}{3}$은 선택지 (D)와 정확히 일치합니다.

[1] #9 6.EE.A.2 규칙의 모든 $a$ 자리에 $5$를, $b$ 자리에 $10$을 대입합니다.

[2] #7 3.OA.C.7 분자를 계산합니다. 한 자리 수와 $10$의 곱.

[3] #7 1.OA.C.6 분모를 계산합니다. 두 수의 단순 덧셈.

[4] #7 6.EE.A.2 위에서 구한 분자와 분모로 분수를 조립합니다.

[5] #14 4.NF.A.1 $\dfrac{50}{15}$의 분자와 분모를 공약수 $5$로 나누어 약분합니다.

검토

합리성 확인: 크기를 빠르게 확인하면, $5 \times 10 = 50$, $5 + 10 = 15$ 이므로 답은 대략 $\tfrac{50}{15} \approx 3.33$입니다. 이 범위에 들어오는 선택지는 (D) $= \tfrac{10}{3} \approx 3.33$ 뿐 — (A)는 $1$ 보다 작고, (B), (C)는 너무 작으며, (E)는 너무 큽니다. $\gcd(10, 3) = 1$ 이므로 $\tfrac{10}{3}$은 기약분수 형태로 답변지에 알맞은 모양입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)로 선택지를 직접 대입해 봅시다. 각 선택지를 소수로 바꿔 $\tfrac{50}{15} = 3.333\ldots$ 와 비교: (A) $0.3$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3.333\ldots$, (E) $50$ — 일치하는 것은 (D) 뿐입니다. 약분 과정을 다시 하지 않고도 답이 같은지 독립적으로 확인할 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

1.OA.C.6 $20$ 이내의 덧셈과 뺄셈 (분모 $5 + 10 = 15$의 계산.)
3.OA.C.7 $100$ 이내의 곱셈과 나눗셈 유창성 (분자 $5 \times 10 = 50$의 계산.)
4.NF.A.1 분자·분모에 같은 수를 곱하거나 나누어 동치분수를 만든다 ($\tfrac{50}{15}$의 분자와 분모를 공약수 $5$로 나눠 기약분수 $\tfrac{10}{3}$으로 약분.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 평가하기 ($\dfrac{a \times b}{a + b}$ 라는 문자식에 $a = 5$, $b = 10$을 대입해 값을 구하는, 이 문제의 핵심 동작.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 "식에 값 대입하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 숫자를 넣고 분수를 약분하면 끝!