AMC 8 · 2011 · #15

쉬운 모드 학년 6

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문제

기호 $4^5$ 는 $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4$ 를 뜻해요. 그리고 $5^{10}$ 은 $5$ 를 $10$ 번 곱한 값을 뜻합니다.

이제 이 두 수를 곱해서 $4^5 \cdot 5^{10}$ 을 만든다고 생각해봅시다.

이 곱을 보통의 자연수로 쭉 풀어 적으면, 자릿수는 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정수 $4^5 \cdot 5^{10}$을 십진수로 적었을 때 자릿수가 몇 개인지 구합니다.

주어진 것: 식: $4^5 \cdot 5^{10}$; 밑 $4$와 $5$가 서로 달라서 지수끼리 바로 합칠 수 없음; 선택지: (A) $8$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $12$

구하는 것: $4^5 \cdot 5^{10}$의 자릿수

이해

문제 재정리: 정수 $4^5 \cdot 5^{10}$을 십진수로 적었을 때 자릿수가 몇 개인지 구합니다.

주어진 것: 식: $4^5 \cdot 5^{10}$; 밑 $4$와 $5$가 서로 달라서 지수끼리 바로 합칠 수 없음; 선택지: (A) $8$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $12$

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

$4^5 \cdot 5^{10}$을 그대로 계산하면 큰 수가 나오지만, 사실 밑 $4$ 안에는 $2$가 숨어 있습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 $4 = 2^2$으로 다시 적으면 밑이 $2$와 $5$가 되고, $2$와 $5$가 짝을 이루어 $10$이 되므로 전체가 깔끔한 $10$의 거듭제곱으로 정리됩니다. 그러면 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 자연스럽게 따라옵니다 — $4^5 \cdot 5^{10}$의 자릿수를 직접 세는 것보다 $10^{10}$의 자릿수를 세는 것이 훨씬 쉽고, $10^n$ 의 자릿수는 $n+1$ 이라는 규칙도 이미 알고 있기 때문입니다.

실행 — 정답: D

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.1 단계 1

4를 2의 거듭제곱으로 바꾸기

$4$를 더 작은 밑 $2$로 다시 적습니다.
$4 = 2^2$ 이므로, 거듭제곱의 거듭제곱 법칙으로 $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$입니다.

$$4^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$$

💡 밑을 $4$ 에서 $2$로 바꾸면 옆에 있는 $5^{10}$의 지수와 맞춰 줄 수 있습니다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.1 단계 2

10의 거듭제곱으로 묶기

원래 식에 다시 넣어 정리합니다.
이제 두 인수의 지수가 모두 $10$ 이므로, $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ 을 써서 하나의 밑으로 합칠 수 있습니다.

$$4^5 \cdot 5^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 10^{10}$$

💡 $2$ 마다 짝이 되는 $5$가 있어서 함께 $10$이 되고, 식 전체가 $10^{10}$으로 줄어듭니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.2 단계 3

자릿수 규칙 찾기

원래의 자릿수 문제를 더 쉬운 문제로 바꿉니다 — $10^{10}$의 자릿수는?
$10^1 = 10$ ($2$ 자리), $10^2 = 100$ ($3$ 자리), $10^3 = 1000$ ($4$ 자리)의 패턴에서 $10^n$ 의 자릿수는 $n+1$입니다 (앞에 $1$ 하나, 뒤에 $0$이 $n$ 개).

$$10^{10} = 1\underbrace{00\cdots 0}_{0\text{이 } 10 \text{ 개}}$$

💡 $10$을 곱할 때마다 끝에 $0$이 하나 붙는다는 5학년 자릿값 패턴 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.2 단계 4

자릿수 규칙 적용하기

규칙에 $n = 10$을 넣습니다.
$10^{10}$의 자릿수는 $10 + 1 = 11$입니다.

$$10 + 1 = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 앞쪽 $1$ 한 자리에 뒤쪽 $0$ 열 자리를 더하면 총 $11$ 자리입니다.

[1] #16 6.EE.A.1 $4$를 더 작은 밑 $2$로 다시 적습니다. $4 = 2^2$ 이므로, 거듭제곱의 거듭제곱 법칙으로 $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}

[2] #16 6.EE.A.1 원래 식에 다시 넣어 정리합니다. 이제 두 인수의 지수가 모두 $10$ 이므로, $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ 을 써

[3] #9 5.NBT.A.2 원래의 자릿수 문제를 더 쉬운 문제로 바꿉니다 — $10^{10}$의 자릿수는? $10^1 = 10$ ($2$ 자리), $10^2 = 100$

[4] #9 5.NBT.A.2 규칙에 $n = 10$을 넣습니다. $10^{10}$의 자릿수는 $10 + 1 = 11$입니다.

검토

합리성 확인: 크기 감각 점검: $4^5 = 1024$ ($4$ 자리), $5^{10} = 9{,}765{,}625$ ($7$ 자리). $4$ 자리 수와 $7$ 자리 수의 곱은 자릿수가 $4 + 7 - 1 = 10$ 자리이거나 $4 + 7 = 11$ 자리 둘 중 하나입니다. 앞자리끼리 곱하면 $1.024 \times 9.765\ldots \approx 10$으로 $10^{10}$을 넘어가므로 큰 쪽인 $11$ 자리가 맞고, 답 (D)와 일치합니다. (A) $8$, (B) $9$는 너무 작고, (E) $12$는 $10^{11}$ 보다 커야 하지만 그렇지 않습니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기)로 자릿수 패턴만 봐도 됩니다 — $10^1$은 $2$ 자리, $10^2$은 $3$ 자리, ..., $10^n$ 은 $n+1$ 자리. 식을 $10^{10}$으로 정리한 순간 $10 + 1 = 11$이 바로 나옵니다. 또는 정직하게 $4^5 \cdot 5^{10} = 1024 \cdot 9{,}765{,}625 = 10{,}000{,}000{,}000$을 직접 곱해 $11$ 자리를 세어도 같은 답이 나오지만, $10$의 거듭제곱으로 바꾸는 쪽이 긴 곱셈을 피할 수 있어 훨씬 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식의 표현과 계산 ($4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$으로 밑을 바꾸고, $2^{10} \cdot 5^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 10^{10}$으로 합치는 지수 법칙 적용에 사용.)
5.NBT.A.2 $10$의 거듭제곱을 곱할 때 곱의 끝에 붙는 $0$의 개수 패턴 설명 ($10^{10}$은 $1$ 뒤에 $0$이 열 개 붙은 수이므로 자릿수가 $10 + 1 = 11$ 임을 인식하는 데 사용.)

⭐ 지수가 같은 $2$와 $5$가 보이면 짝지어 $10$으로 묶어 보세요 — 답이 $10$의 거듭제곱으로 곧장 정리됩니다.