AMC 8 · 2012 · #12

쉬운 모드 학년 4

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문제

$13$ 을 $2012$ 번 연달아 곱한 어마어마하게 큰 수를 생각해봅시다. 그 수가 $13^{2012}$ 입니다.

이 수를 실제로 계산할 필요는 없어요. 우리에게 필요한 건 그 수의 마지막 숫자, 즉 일의 자리 숫자뿐입니다.

$13^{2012}$ 의 일의 자리 숫자는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $13^{2012}$의 일의 자리 숫자만 구하는 문제입니다. 수 전체가 아니라 마지막 한 자리만 알면 됩니다.

주어진 것: 밑 $= 13$; 지수 $= 2012$; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $9$

구하는 것: $13^{2012}$의 일의 자리 숫자

이해

문제 재정리: $13^{2012}$의 일의 자리 숫자만 구하는 문제입니다. 수 전체가 아니라 마지막 한 자리만 알면 됩니다.

주어진 것: 밑 $= 13$; 지수 $= 2012$; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $9$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

지수 $2012$는 직접 계산하기엔 너무 크기 때문에, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 $3^1, 3^2, 3^3, \dots$ 처럼 작은 거듭제곱부터 일의 자리만 살펴봅니다. 그 다음 도구 #5(패턴 찾기)가 바통을 받습니다 — $3$의 거듭제곱은 일의 자리가 $\{3, 9, 7, 1\}$로 $4$ 개씩 반복하기 때문에, 주기 길이만 알면 $2012$ 번째 값은 나눗셈의 나머지 한 번으로 끝납니다. 깔끔한 주기가 보이므로 도구 #13(대수로 바꾸기)은 굳이 쓸 필요가 없습니다.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.5 단계 1

일의 자리만 남기기

문제를 더 단순한 모양으로 줄입니다.
곱의 일의 자리는 인수들의 일의 자리에만 의존하므로, $13 \times 13 \times \dots$ 의 일의 자리는 $3 \times 3 \times \dots$ 의 일의 자리와 같습니다.
따라서 $13^{2012}$ 대신 더 쉬운 $3^{2012}$를 살펴보면 됩니다.

$$13^{2012}\text{의 일의 자리} = 3^{2012}\text{의 일의 자리}$$

💡 $(\text{십의 자리} + \text{일의 자리}) \times (\text{십의 자리} + \text{일의 자리})$의 일의 자리가 어디서 오는지 짚는 것은 4학년 자릿값 감각입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.5 단계 2

3의 거듭제곱 표 만들기

$3$의 거듭제곱을 작은 것부터 표로 만들고 일의 자리만 적습니다.

$3^1 = 3 \to \mathbf{3}$; $\; 3^2 = 9 \to \mathbf{9}$; $\; 3^3 = 27 \to \mathbf{7}$; $\; 3^4 = 81 \to \mathbf{1}$; $\; 3^5 = 243 \to \mathbf{3}$

💡 $3 \times 3, 9 \times 3, 27 \times 3, \dots$ 를 계산하는 것은 4학년 다자리 곱셈 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

반복 주기 찾기

반복되는 패턴을 찾습니다.
일의 자리만 읽으면 $3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, \dots$ — $4$ 개짜리 블록이 계속 반복됩니다.
주기는 $\{3, 9, 7, 1\}$, 길이는 $4$입니다.

$$\text{주기} = (3, 9, 7, 1), \;\; \text{길이} = 4$$

💡 주어진 규칙으로 수열을 만들고 반복을 알아채는 것은 정확히 4학년 "패턴 분석" 표준입니다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 4

2012를 주기로 나누기

주기를 이용해 $2012$ 번째 값을 단숨에 찾습니다.
지수를 주기 길이로 나눠 나머지를 봅니다.
나머지 $1, 2, 3, 0$은 주기 안의 $3, 9, 7, 1$ 자리에 각각 대응합니다.

$$2012 \div 4 = 503 \text{ 나머지 } 0$$

💡 $4$ 자리 수를 $1$ 자리 수로 나눠 몫과 나머지를 구하는 것은 4학년 나눗셈 표준입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 5

일의 자리 읽기

결과를 읽어 줍니다.
나머지 $0$은 $3^{2012}$가 주기 안에서 $3^4$과 같은 자리, 즉 블록의 마지막에 떨어진다는 뜻입니다.
그 자리의 일의 자리는 $1$ 이므로, $13^{2012}$의 일의 자리도 $1$입니다.

$$13^{2012}\text{의 일의 자리} = 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 반복 주기 안의 위치를 다시 그 위치의 값으로 되돌리는 것도 표를 만들 때 쓴 그 패턴 분석 능력입니다.

[1] #9 4.NBT.B.5 문제를 더 단순한 모양으로 줄입니다. 곱의 일의 자리는 인수들의 일의 자리에만 의존하므로, $13 \times 13 \times \dots$ 의

[2] #9 4.NBT.B.5 $3$의 거듭제곱을 작은 것부터 표로 만들고 일의 자리만 적습니다.

[3] #5 4.OA.C.5 반복되는 패턴을 찾습니다. 일의 자리만 읽으면 $3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, \dots$ — $4$ 개짜리 블록이 계속 반복됩니다

[4] #5 4.NBT.B.6 주기를 이용해 $2012$ 번째 값을 단숨에 찾습니다. 지수를 주기 길이로 나눠 나머지를 봅니다. 나머지 $1, 2, 3, 0$은 주기 안의 $

[5] #5 4.OA.C.5 결과를 읽어 줍니다. 나머지 $0$은 $3^{2012}$가 주기 안에서 $3^4$과 같은 자리, 즉 블록의 마지막에 떨어진다는 뜻입니다. 그 자

검토

합리성 확인: 확인 가능한 작은 지수로 주기를 점검해 봅시다. $3^8 = 6561$은 일의 자리가 $1$, 우리 규칙으로는 $8 \div 4$의 나머지가 $0$ 이므로 "주기의 마지막 = $1$" — 일치합니다. $3^{10} = 59049$는 일의 자리가 $9$, $10 \div 4 = 2$ 나머지 $2$ 이므로 주기의 $2$ 번째 자리 = $9$ — 또 일치합니다. 주기가 신뢰할 만하므로 $3^{2012}$의 일의 자리가 $1$ 이라는 결론도 안심할 수 있습니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 도구 #9를 대체할 수도 있습니다 — $3^1, 3^2, \dots, 3^8$의 일의 자리를 순서대로 적어 반복이 분명해질 때까지 나열한 뒤 $4$ 개씩 묶어 세면 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 이 문제에서는 약합니다. 홀수 거듭제곱의 일의 자리로 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ 다섯 개 모두 그럴듯해 보여 그냥 보고는 선택지를 줄일 수 없기 때문입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.5 네 자리 이하의 수와 한 자리 수의 곱셈 (자릿값 논리로 $13^{2012}$를 $3^{2012}$로 줄이고, $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5$의 작은 거듭제곱을 계산해 일의 자리 패턴을 드러내는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 생성과 특징 파악 ($3$의 거듭제곱의 일의 자리가 $(3, 9, 7, 1)$ 주기를 이룬다는 것을 알아내고, 그 주기로 $2012$ 번째 항을 예측하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 네 자리 이하 피제수, 한 자리 제수의 몫과 나머지 구하기 ($2012 \div 4 = 503$ 나머지 $0$을 계산해 길이 $4$ 짜리 주기 안에서 $2012$ 번째 위치를 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 "패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요 — 주기를 찾고, 나눗셈으로 위치를 찾고, 그 자리의 숫자를 읽으면 끝!