경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2012 · #12
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AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
지수 2012는 직접 계산하기엔 너무 크기 때문에, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 3¹, 3², 3³, … 처럼 작은 거듭제곱부터 일의 자리만 살펴봅니다. 그 다음 도구 #5(패턴 찾기)가 바통을 받습니다 — 3의 거듭제곱은 일의 자리가 {3, 9, 7, 1}로 4 개씩 반복하기 때문에, 주기 길이만 알면 2012 번째 값은 나눗셈의 나머지 한 번으로 끝납니다. 깔끔한 주기가 보이므로 도구 #13(대수로 바꾸기)은 굳이 쓸 필요가 없습니다.
일의 자리만 남기기
곱의 일의 자리는 인수의 일의 자리에서만 나오므로, 13²⁰¹²의 끝자리는 더 쉬운 3²⁰¹² 와 같습니다.
(십의 자리 + 일의 자리) × (십의 자리 + 일의 자리)의 일의 자리가 어디서 오는지 짚는 것은 4학년 자릿값 감각입니다.
4.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem3의 거듭제곱 표 만들기
3의 거듭제곱을 몇 개 계산해 일의 자리만 적으면 3, 9, 7, 1 이 나옵니다.
3 × 3, 9 × 3, 27 × 3, … 를 계산하는 것은 4학년 다자리 곱셈 그대로입니다.
4.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem반복 주기 찾기
일의 자리는 고정된 블록으로 반복됩니다 — 주기 3, 9, 7, 1의 길이는 4 입니다.
주어진 규칙으로 수열을 만들고 반복을 알아채는 것은 정확히 4학년 "패턴 분석" 표준입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern2012를 주기로 나누기
지수를 주기 길이로 나눠 2012의 위치를 찾습니다: 2012 ÷ 4는 나머지 0 입니다.
4 자리 수를 1 자리 수로 나눠 몫과 나머지를 구하는 것은 4학년 나눗셈 표준입니다.
3²⁰¹²의 일의 자리 숫자는 반복되는 네 칸 블록의 마지막 항인 3⁴의 일의 자리 숫자와 같다.
▸ 왜?
3¹, 3², 3³, …의 일의 자리 숫자는 네 개짜리 고정 블록(3, 9, 7, 1)으로 자리 잡아 계속 반복되므로, 일의 자리 숫자들은 길이 4의 주기를 이룬다.
▸ 왜?
각 거듭제곱은 바로 앞 것에 3을 곱한 것이고, 곱의 일의 자리 숫자는 두 인수의 일의 자리 숫자만으로 정해지므로, 같은 일의 자리 숫자는 언제나 같은 다음 숫자를 낳는다; 3⁵이 다시 3으로 끝나 3¹과 같아지는 순간 블록 3, 9, 7, 1은 반복될 수밖에 없다.
▸ 왜?
곱셈에서 어떤 인수의 십의 자리 이상은 곱의 십의 자리 이상에만 기여하므로, 일의 자리보다 위의 어떤 것도 답의 일의 자리 숫자를 바꿀 수 없다.
▸ 왜?
2012 = 4 × 503은 완전한 네 칸 블록이 딱 떨어지는 개수이므로, 길이 4의 주기를 2012번 돌면 한 블록이 끝나는 바로 그 자리, 곧 4번째 자리와 같은 곳에서 멈춘다.
일의 자리 읽기
나머지 0은 블록의 마지막 자리를 가리키고, 그 일의 자리는 1 이므로 13²⁰¹²도 1로 끝납니다.
반복 주기 안의 위치를 다시 그 위치의 값으로 되돌리는 것도 표를 만들 때 쓴 그 패턴 분석 능력입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern이 AMC 8 문제는 사실 4학년 "패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요 — 주기를 찾고, 나눗셈으로 위치를 찾고, 그 자리의 숫자를 읽으면 끝!
- 일의 자리만 남기기
- 3의 거듭제곱 표 만들기
- 반복 주기 찾기
- 2012를 주기로 나누기
- 일의 자리 읽기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.
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