AMC 8 · 2014 · #6

쉬운 모드 학년 4

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문제

직사각형 $6$ 개가 나란히 있다고 생각해봅시다. 모든 직사각형의 너비는 $2$ 로 똑같아요.

하지만 길이는 서로 다릅니다. 각각의 길이는 $1, 4, 9, 16, 25, 36$ 입니다.

이 $6$ 개 직사각형의 넓이를 각각 구한 다음, 모두 더하면 얼마가 될까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

162

(D)

182

(E)

202

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $6$ 개가 모두 너비 $2$이고, 각 길이는 처음 여섯 개의 완전제곱수 $1, 4, 9, 16, 25, 36$입니다. 여섯 직사각형의 넓이의 합을 구하세요.

주어진 것: 직사각형은 모두 $6$ 개; 모든 직사각형의 너비는 같음: $2$; 길이는 $1, 4, 9, 16, 25, 36$ (처음 여섯 개의 완전제곱수); 선택지: (A) $91$, (B) $93$, (C) $162$, (D) $182$, (E) $202$

구하는 것: 여섯 직사각형 넓이의 합

이해

계획

주요 도구: #4 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

각 직사각형의 넓이는 $2 \times \text{길이}$ 이므로 전체 넓이는 $2 \times 1 + 2 \times 4 + \dots + 2 \times 36$입니다. 모든 항에 공통 인수 $2$가 보이는 것이 패턴(도구 #4) 이므로, $2$를 묶어내면 길이를 한 번만 더하면 됩니다: $\text{전체} = 2 \times (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)$. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이 일을 두 단계 — 먼저 여섯 수를 더하고, 그 다음 $2$를 곱하기 — 로 깔끔하게 나눠 줍니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 1

넓이를 여섯 곱으로 쓰기

전체 넓이를 여섯 직사각형 넓이의 합으로 적습니다.
각 직사각형 넓이는 너비 $\times$ 길이 $= 2 \times \ell$ 입니다.

$$\text{전체} = 2\cdot1 + 2\cdot4 + 2\cdot9 + 2\cdot16 + 2\cdot25 + 2\cdot36$$

💡 직사각형 넓이 $=$ 너비 $\times$ 길이는 3학년 넓이 표준 그대로입니다.

#4 패턴 찾기 3.OA.B.5 단계 2

공통인 2 묶어내기

모든 항에 공통으로 들어 있는 $2$를 찾아 분배법칙으로 묶어냅니다.
그러면 길이는 한 번만 더하면 됩니다.

$$\text{전체} = 2 \times (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)$$

💡 공통 인수를 묶어내는 것은 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 그 자체입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 3

여섯 제곱수 더하기

괄호 안 여섯 제곱수를 더합니다.
합이 깔끔한 수가 되는 쌍끼리 묶으면 계산이 쉬워집니다: $(1 + 9) + (4 + 16) + (25 + 36) = 10 + 20 + 61$.

$$1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 10 + 20 + 61 = 91$$

💡 합이 $10$, $20$ 같은 둥근 수가 되도록 짝을 짓는 것은 익숙한 암산 전략입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 4

너비를 곱하기

구한 합에 공통 너비 $2$를 곱해 전체 넓이를 얻습니다.

$$\text{전체} = 2 \times 91 = 182 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 한 자리 수 $\times$ 두 자리 수 곱셈은 4학년 자릿수 곱셈 표준입니다.

[1] #7 3.MD.C.7 전체 넓이를 여섯 직사각형 넓이의 합으로 적습니다. 각 직사각형 넓이는 너비 $\times$ 길이 $= 2 \times \ell$ 입니다.

[2] #4 3.OA.B.5 모든 항에 공통으로 들어 있는 $2$를 찾아 분배법칙으로 묶어냅니다. 그러면 길이는 한 번만 더하면 됩니다.

[3] #7 4.NBT.B.4 괄호 안 여섯 제곱수를 더합니다. 합이 깔끔한 수가 되는 쌍끼리 묶으면 계산이 쉬워집니다: $(1 + 9) + (4 + 16) + (25 + 3

[4] #7 4.NBT.B.5 구한 합에 공통 너비 $2$를 곱해 전체 넓이를 얻습니다.

검토

합리성 확인: 선택지 (A) $91$은 너비 $2$를 곱하기 전 단계인 "길이의 합" 그 자체입니다 — 마지막 곱셈을 잊으면 빠지기 쉬운 함정이에요. $91$을 두 배 한 $182$가 정답 (D)입니다. 빠른 점검: 가장 큰 직사각형 하나가 $2 \times 36 = 72$이고, 여섯 넓이 $2, 8, 18, 32, 50, 72$가 모두 $200$ 보다 작으니 합이 $182$ 부근인 것은 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #1(리스트 만들기): 각 직사각형 넓이를 따로 구해 늘어놓고 — $2, 8, 18, 32, 50, 72$ — 차례로 더합니다. $2 + 8 = 10$, $10 + 18 = 28$, $28 + 32 = 60$, $60 + 50 = 110$, $110 + 72 = 182$. 답은 똑같이 (D) 지만, 곱셈을 한 번이 아니라 여섯 번 해야 합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 덧셈의 연산과 연결하기 (각 직사각형에 대해 넓이 $=$ 너비 $\times$ 길이를 사용해 전체 넓이를 여섯 곱셈의 합으로 표현.)
3.OA.B.5 곱셈·나눗셈 전략으로 연산의 성질 활용하기 (분배법칙으로 공통 너비 $2$를 묶어내는 변형: $2\cdot1 + 2\cdot4 + \dots = 2 \times (1 + 4 + \dots)$.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈을 유창하게 수행 (여섯 완전제곱수 $1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91$의 덧셈.)
4.NBT.B.5 최대 네 자리 자연수와 한 자리 자연수의 곱셈 (최종 합 $2 \times 91 = 182$의 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 산수만으로 풀려요 — 공통 너비를 묶어내면 덧셈 한 번, 곱셈 한 번이면 끝!