AMC 8 · 2015 · #15

쉬운 모드 학년 6

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문제

오일러 중학교에서 학생 $198$ 명이 두 가지 안건에 대해 투표했습니다.

$149$ 명이 첫 번째 안건에 찬성표를 던졌어요.
$119$ 명이 두 번째 안건에 찬성표를 던졌어요.
$29$ 명은 두 안건 모두에 반대표를 던졌어요.

한 학생은 첫 번째 안건만 찬성, 두 번째 안건만 찬성, 둘 다 찬성, 또는 둘 다 반대 중 하나를 선택할 수 있어요.

두 안건 모두에 찬성한 학생은 몇 명일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

149

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 오일러 중학교 학생 $198$ 명이 두 안건에 대해 투표했습니다. 첫 번째 안건에 찬성한 학생은 $149$ 명, 두 번째 안건에 찬성한 학생은 $119$ 명이고, 두 안건 모두에 반대한 학생은 정확히 $29$ 명입니다. 두 안건 모두에 찬성한 학생은 몇 명일까요?

주어진 것: 전체 투표자 $= 198$ 명; 안건 1 찬성: $|A| = 149$; 안건 2 찬성: $|B| = 119$; 둘 다 반대(어느 쪽에도 찬성하지 않음) $= 29$ 명; 선택지: (A) $49$, (B) $70$, (C) $79$, (D) $99$, (E) $149$

구하는 것: 두 안건 모두에 찬성한 학생 수, 즉 $|A \cap B|$

이해

계획

주요 도구: #12 벤 다이어그램 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

"둘 다", "둘 다 반대" 같은 표현은 도구 #12(벤 다이어그램)의 전형적인 신호입니다. $A$, $B$ 두 원을 겹쳐 그리고, 둘 다 반대한 $29$ 명은 두 원 바깥에 둡니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로는 풀이를 두 단계로 나눕니다 — 먼저 "적어도 하나에 찬성한 학생 수"(합집합)를 구하고, 그 값을 이용해 겹치는 부분을 찾습니다. 두 부분 문제만 풀면 벤 다이어그램의 나머지 칸은 뺄셈으로 채워지므로 $x = a + b - u$ 보다 무거운 대수는 필요하지 않습니다.

실행 — 정답: D

#12 벤 다이어그램 그리기 4.OA.A.3 단계 1

벤 다이어그램 그리기

벤 다이어그램을 세팅합니다.
전체 $198$ 명을 담는 사각형 안에 $A$(안건 1 찬성)와 $B$(안건 2 찬성)를 나타내는 두 원을 겹쳐 그립니다.
둘 다 반대한 $29$ 명은 사각형 안이지만 두 원 바깥에 자리잡습니다.

$$\text{두 원 바깥} = 29$$

💡 "둘 다 반대" 그룹을 원 바깥에 두는 순간, "적어도 한쪽에 찬성한 학생들" 과 깔끔하게 분리됩니다 — 도구 #12가 노리는 바로 그 구분입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

합집합 구하기

합집합 $|A \cup B|$ — 적어도 하나의 안건에 찬성한 학생 수 — 를 구합니다.
$29$ 명의 "둘 다 반대" 학생을 빼고 남은 사람은 모두 두 원 중 하나에는 들어가야 합니다.

$$|A \cup B| = 198 - 29 = 169$$

💡 $198$ 명을 "원 안 vs 원 밖" 으로 가르는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 더 쉬운 조각부터 먼저 해결합니다.

#12 벤 다이어그램 그리기 6.EE.B.7 단계 3

포함배제 식 쓰기

두 집합 포함-배제 공식을 적용합니다.
$|A| + |B|$ 는 "둘 다 찬성한" 학생을 두 번 셉니다.
그래서 $|A| + |B|$ 가 합집합 $|A \cup B|$ 보다 정확히 $|A \cap B|$ 만큼 큽니다.
이 관계를 정리하면 겹치는 부분에 대한 한 줄 짜리 식이 나옵니다.

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \;\Longrightarrow\; |A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$$

💡 벤 그림을 보면 중복 카운트가 한눈에 보입니다. 렌즈 모양 교집합은 $A$ 안에도 $B$ 안에도 있어서 $|A|$ 에서 한 번, $|B|$ 에서 또 한 번 세집니다.

#12 벤 다이어그램 그리기 6.EE.B.7 단계 4

값을 넣어 교집합 구하기

주어진 값 $|A| = 149$, $|B| = 119$, $|A \cup B| = 169$을 대입해 교집합을 계산합니다.

$$|A \cap B| = 149 + 119 - 169 = 268 - 169 = 99 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 한 미지수 방정식 $x = a + b - u$ 에 정수 값을 대입해 푸는 것은 6학년 수준의 단순 대입입니다.

[1] #12 4.OA.A.3 벤 다이어그램을 세팅합니다. 전체 $198$ 명을 담는 사각형 안에 $A$(안건 1 찬성)와 $B$(안건 2 찬성)를 나타내는 두 원을 겹쳐 그

[2] #7 4.OA.A.3 합집합 $|A \cup B|$ — 적어도 하나의 안건에 찬성한 학생 수 — 를 구합니다. $29$ 명의 "둘 다 반대" 학생을 빼고 남은 사람은

[3] #12 6.EE.B.7 두 집합 포함-배제 공식을 적용합니다. $|A| + |B|$ 는 "둘 다 찬성한" 학생을 두 번 셉니다. 그래서 $|A| + |B|$ 가 합집합

[4] #12 6.EE.B.7 주어진 값 $|A| = 149$, $|B| = 119$, $|A \cup B| = 169$을 대입해 교집합을 계산합니다.

검토

합리성 확인: 답 $99$로 네 영역을 검산해 봅니다 — 둘 다 찬성 $= 99$, $A$ 만 $= 149 - 99 = 50$, $B$ 만 $= 119 - 99 = 20$, 둘 다 반대 $= 29$. 합 $= 99 + 50 + 20 + 29 = 198$. 네 조각이 $198$ 명을 정확히 분할하므로 답이 일관됩니다. 또한 $|A \cap B| = 99$는 $\min(|A|, |B|) = 119$ 이하라서 실제 교집합이 만족해야 할 조건도 통과합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)로 다섯 선택지를 직접 검사합니다. 후보 $x$ 마다 "$A$ 만" $= 149 - x$, "$B$ 만" $= 119 - x$, 둘 다 반대 $= 29$의 합이 $198$이 되는지 확인합니다. 식 $149 + 119 - x + 29 = 198$을 풀면 $x = 99$ — 오직 (D)만 통과하고 나머지는 $198$을 넘거나 모자랍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용해 자연수 여러 단계 문장제 해결 ($198 - 29 = 169$의 뺄셈으로 적어도 하나의 안건에 찬성한 학생 수(두 찬성 집합의 합집합)를 구하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$, $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 (포함-배제 공식 $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 를 한 미지수 방정식으로 정리하고 $|A \cap B| = 149 + 119 - 169 = 99$를 푸는 데 사용.)

⭐ 벤 다이어그램만 그리면 이 AMC 8 문제는 6학년 "한 미지수 방정식 풀기" 만으로 끝나요 — 겹치는 부분이 $149 + 119 - 169 = 99$로 바로 나옵니다.