AMC 8 · 2017 · #12

쉬운 모드 학년 4

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문제

$1$ 보다 큰 자연수 중에서 다음을 모두 만족하는 수를 찾아봅시다:

$4$ 로 나누면 나머지가 $1$ .
$5$ 로 나누면 나머지가 $1$ .
$6$ 으로 나누면 나머지가 $1$ .

이런 수는 여러 개 있어요. 우리는 그중에서 가장 작은 수를 원해요.

그 가장 작은 수를 찾고, 아래의 어떤 두 수 사이에 있는지 골라봅시다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\text{ and }19$

(B)

$20\text{ and }39$

(C)

$40\text{ and }59$

(D)

$60\text{ and }79$

(E)

$80\text{ and }124$

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$ 보다 크면서, $4$로 나누어도 $5$로 나누어도 $6$으로 나누어도 모두 나머지가 $1$이 되는 가장 작은 양의 정수 $N$ 을 구하고, 그 $N$ 이 주어진 다섯 구간 중 어디에 들어가는지 고르세요.

주어진 것: $N$ 은 $N > 1$ 인 양의 정수; $N \div 4$의 나머지가 $1$; $N \div 5$의 나머지가 $1$; $N \div 6$의 나머지가 $1$; 선택지: (A) $2$와 $19$ 사이, (B) $20$과 $39$ 사이, (C) $40$과 $59$ 사이, (D) $60$과 $79$ 사이, (E) $80$과 $124$ 사이

구하는 것: 조건을 모두 만족하는 가장 작은 $N$ (그리고 그 $N$ 을 품고 있는 구간)

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

세 가지 나머지 조건을 한 번에 다루려고 하면 막막하지만, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 쓰면 문제가 훨씬 가벼워집니다. "$N$ 을 $d$ 로 나눈 나머지가 $1$" 이라는 말은 "$N - 1$이 $d$ 의 배수" 와 똑같은 뜻이므로, $N$ 을 직접 찾는 대신 $N - 1$을 찾으면 됩니다. 즉 $4, 5, 6$의 공배수 중 가장 작은 양수를 찾으면 끝 — 4학년 배수 개념만 있으면 충분합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 가장 큰 약수인 $6$의 배수를 차례대로 적어 가며 $4$와 $5$ 로도 나누어떨어지는 첫 번째 수를 찾고, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 $N$ 이 들어가는 구간을 확정합니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.6 단계 1

하나의 배수 조건으로 바꾸기

세 개의 나머지 조건을 하나의 "나누어떨어진다" 조건으로 바꿉니다.
"$N$ 을 $d$ 로 나눈 나머지가 $1$" 이라는 것은 "$N - 1$이 $d$ 로 정확히 나누어떨어진다" 와 같은 말입니다.
따라서 문제는 "$N - 1$이 $4, 5, 6$의 공배수가 되는 가장 작은 양수" 를 찾는 문제로 바뀝니다.

$N - 1$이 $4, 5, 6$의 공배수

💡 "나머지 $1$" 은 "배수에서 $1$ 만큼 더 간 자리" 라는 뜻이므로, $1$을 빼면 배수 자리에 정확히 떨어진다는 4학년 나머지 감각 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

공배수 찾기

가장 큰 약수인 $6$의 배수를 작은 것부터 차례로 적고, 그중에서 $4$ 로도 $5$ 로도 나누어떨어지는 첫 번째 수를 골라 냅니다.
$6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60$까지 가 보면, $60$ 만이 $4$의 배수($60 = 4 \times 15$) 이면서 $5$의 배수($60 = 5 \times 12$)입니다.
따라서 $4, 5, 6$의 가장 작은 양의 공배수는 $60$.

$6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, \boxed{60}$ — $60 = 4 \times 15 = 5 \times 12 = 6 \times 10$

💡 한 수의 배수를 차례로 적으면서 다른 수로 나누어떨어지는지 확인하는 것은 4학년 "약수와 배수" 단원 그대로의 동작입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.3 단계 3

1을 더해 N 구하기

$N - 1 = 60$ 이므로, 양변에 $1$을 더해 $N$ 을 되돌려 줍니다.
가장 작은 $N$ 은 $60 + 1 = 61$입니다.
(다음 후보는 다음 공배수 $120$ 에서 나오는 $N = 121$ 인데, 훨씬 크므로 $61$이 정답.)

$$N = 60 + 1 = 61$$

💡 더 쉬운 문제($N - 1$)의 답에서 $1$을 더해 원래 문제($N$)의 답으로 옮기는 것은 4학년 다단계 문장제의 마무리 동작입니다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 4

범위 선택지와 맞춰 보기

$N = 61$을 다섯 구간에 대입해 가능성을 하나씩 지웁니다.
$61$은 $[2, 19]$, $[20, 39]$, $[40, 59]$ 어디에도 들어가지 않고, $80$ 보다 작으므로 $[80, 124]$도 아닙니다.
남은 $[60, 79]$, 즉 (D)에 깔끔하게 들어맞습니다.

$$60 < 61 < 79 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $61$을 구간의 끝값들과 비교하는 것은 4학년 여러 자리 수 비교 그대로입니다.

[1] #9 4.NBT.B.6 세 개의 나머지 조건을 하나의 "나누어떨어진다" 조건으로 바꿉니다. "$N$ 을 $d$ 로 나눈 나머지가 $1$" 이라는 것은 "$N - 1$이

[2] #2 4.OA.B.4 가장 큰 약수인 $6$의 배수를 작은 것부터 차례로 적고, 그중에서 $4$ 로도 $5$ 로도 나누어떨어지는 첫 번째 수를 골라 냅니다. $6,

[3] #9 4.OA.A.3 $N - 1 = 60$ 이므로, 양변에 $1$을 더해 $N$ 을 되돌려 줍니다. 가장 작은 $N$ 은 $60 + 1 = 61$입니다. (다음 후

[4] #3 4.NBT.A.2 $N = 61$을 다섯 구간에 대입해 가능성을 하나씩 지웁니다. $61$은 $[2, 19]$, $[20, 39]$, $[40, 59]$ 어디에도

검토

합리성 확인: 확인해 보면 $61 \div 4 = 15$ 나머지 $1$, $61 \div 5 = 12$ 나머지 $1$, $61 \div 6 = 10$ 나머지 $1$로 세 조건이 모두 성립하고, $61 > 1$ 이므로 "$1$ 보다 크다" 는 조건도 만족합니다. $61$ 보다 작은 후보가 있으려면 $60$ 보다 작은 $4, 5, 6$의 공배수가 있어야 하는데, 빠짐없이 나열로 그런 수가 없음을 확인했으므로 $N = 61$이 정말 최소입니다. 따라서 $61$은 $60$–$79$ 구간 안에 있고 답은 (D).

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)로 선택지 자체를 직접 대입해 봅니다. 각 구간의 작은 쪽 수부터 세 나머지를 검사합니다. (A) $N = 5$: $5 \div 5$의 나머지가 $0$이라 탈락. (B) $N = 21$: $21 \div 6$의 나머지가 $3$이라 탈락. (C) $N = 41$: $41 \div 6$의 나머지가 $5$ 라 탈락. (D) $N = 61$: 세 나누기 모두 나머지 $1$ — 통과. 따라서 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.6 네 자리 수 이내 정수의 몫과 나머지 구하기 ("나머지가 $1$" 이라는 문장을 "$N - 1$이 $d$ 로 정확히 나누어떨어진다" 라는 나누어떨어짐 조건으로 바꿔 읽는 데 사용 — 4학년 나머지 개념을 그대로 활용.)
4.OA.B.4 약수쌍 모두 찾기, 배수 알아보기, 소수·합성수 판별 ($6$의 배수를 차례로 적고 각 수가 $4$와 $5$ 로도 나누어떨어지는지 확인해 가장 작은 공배수 $60$을 찾는 데 사용.)
4.OA.A.3 정수의 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 ($N - 1$의 값에서 $1$을 더해 원래 문제의 $N$ 을 구하는 마무리 단계의 다단계 계산에 사용.)
4.NBT.A.2 여러 자리 수의 읽기·쓰기와 부등호 비교 ($N = 61$을 다섯 구간의 끝값($19, 39, 59, 79, 124$)과 비교해 들어가는 구간을 결정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "나머지 $1$ = 배수에서 $1$ 더 간 자리" 라는 배수·나머지 감각만 있으면 풀 수 있어요!