AMC 8 · 2018 · #7

쉬운 모드 학년 4

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문제

앞의 네 자리가 $2$ , $0$ , $1$ , $8$ 이고, 마지막에 한 자리 숫자가 하나 더 붙는 $5$ 자리 수를 생각해봅시다. 그 마지막 자리 숫자를 $U$ 라고 부를게요.

그래서 이 수는 $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{1}\,\underline{8}\,\underline{U}$ 모양입니다.

한 가지 사실이 주어집니다. 이 $5$ 자리 수는 $9$ 로 나누어떨어집니다. 이 사실이 $U$ 가 어떤 숫자여야 하는지를 알려줘요.

$U$ 를 알아내면 이 $5$ 자리 수 전체를 알 수 있습니다. 이 $5$ 자리 수를 $8$ 로 나누었을 때 나머지는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 앞 네 자리가 $2, 0, 1, 8$이고 마지막 자리가 알 수 없는 한 자리 숫자 $U$ 인 다섯 자리 수 $\overline{2018U}$가 $9$의 배수라고 합니다. 이때 이 다섯 자리 수를 $8$로 나눈 나머지를 구하는 문제입니다.

주어진 것: 수의 형태는 $\overline{2018U}$ 이며, $U$ 는 $0$부터 $9$ 까지의 한 자리 숫자; $\overline{2018U}$는 $9$의 배수; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$

구하는 것: 한 자리 숫자 $U$ 의 값; $\overline{2018U}$를 $8$로 나눈 나머지

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기

이 문제는 두 개의 작은 문제로 자연스럽게 쪼개집니다 (도구 #7) — (가) $9$의 배수라는 단서로 $U$ 의 값을 먼저 찾고, (나) 그 다섯 자리 수를 $8$로 나눈 나머지를 구합니다. (가)는 "각 자리 숫자의 합이 $9$의 배수" 라는 잘 알려진 $9$의 배수 판정 패턴 (도구 #5)을 그대로 적용하면 됩니다 — $U$ 의 후보가 $0$부터 $9$까지 단 $10$ 개뿐이므로 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로도 몇 초 안에 풀립니다. (나)는 한 번의 나눗셈으로 끝나며, 대수 없이도 충분합니다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.4 단계 1

아는 자리 수 더하기

작은 문제 가: $9$의 배수 판정법으로 $U$ 를 찾습니다.
어떤 수가 $9$의 배수일 조건은 "각 자리 숫자의 합이 $9$의 배수" 라는 것입니다.
$\overline{2018U}$의 이미 아는 네 자리 숫자를 먼저 더하고, $U$ 만 미지수로 남겨 둡니다.

$$2 + 0 + 1 + 8 + U = 11 + U$$

💡 네 자리 숫자를 더해 $11$을 얻는 것은 4학년 다자릿수 덧셈 그대로입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 2

빠진 숫자 찾기

이제 $11 + U$ 가 $9$의 배수가 되도록 하는 한 자리 숫자 $U$ 를 찾습니다.
$U$ 가 한 자리이므로 $11 + U$ 의 값은 $11$부터 $20$ 사이에 놓이고, 이 구간 안에 있는 $9$의 배수는 $18$ 뿐입니다.
따라서 $11 + U = 18$, 즉 $U = 7$입니다.
($U = 0, 1, 2, \ldots, 9$를 차례로 대입해 보는 도구 #6의 추측·확인으로도 똑같이 $U = 7$ 만이 조건을 만족함을 빠르게 확인할 수 있습니다.)

$$11 + U = 18 \;\Rightarrow\; U = 7 \;\Rightarrow\; \overline{2018U} = 20187$$

💡 어떤 합이 $9$의 배수인지 확인하는 것은 4학년 "어떤 수의 배수 찾기" 와 같습니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 3

8의 배수 떼어내기

작은 문제 나: $20187$을 $8$로 나눈 나머지를 구합니다.
여기서 "$1000 = 8 \times 125$가 $8$의 배수" 라는 사실을 이용한 지름길이 있습니다 — $20000 = 20 \times 1000$도 자동으로 $8$의 배수이므로, $20187$을 $8$로 나눈 나머지는 마지막 세 자리 수 $187$을 $8$로 나눈 나머지와 같습니다.

$$20187 = 20000 + 187,\;\; 20000 = 8 \times 2500 \;\Rightarrow\; 20187 \bmod 8 = 187 \bmod 8$$

💡 $1000$의 배수는 곧 $8$의 배수라는 관찰은 4학년 배수 개념 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 4

187을 8로 나누기

이제 $187$을 $8$로 직접 나눕니다.
$187$ 보다 크지 않은 $8$의 배수 중 가장 큰 것은 $8 \times 23 = 184$이고, $187 - 184 = 3$ 이므로 $187 = 8 \times 23 + 3$, 즉 나머지는 $3$입니다.

$$187 = 8 \times 23 + 3 \;\Rightarrow\; 187 \bmod 8 = 3$$

💡 세 자리 수를 한 자리 수로 나누어 몫 $23$과 나머지 $3$을 구하는 것은 4학년 "나머지 있는 나눗셈" 표준 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 5

나머지 확인하기

두 작은 문제의 결과를 합치면 $20187 \bmod 8 = 187 \bmod 8 = 3$.
따라서 나머지는 $3$, 답은 (B)입니다.

$$20187 \bmod 8 = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 두 작은 문제의 답을 이어 붙이는 것은 도구 #7 "쪼갠 문제 합치기" 의 핵심 동작입니다.

[1] #5 4.NBT.B.4 작은 문제 가: $9$의 배수 판정법으로 $U$ 를 찾습니다. 어떤 수가 $9$의 배수일 조건은 "각 자리 숫자의 합이 $9$의 배수" 라는 것

[2] #6 4.OA.B.4 이제 $11 + U$ 가 $9$의 배수가 되도록 하는 한 자리 숫자 $U$ 를 찾습니다. $U$ 가 한 자리이므로 $11 + U$ 의 값은 $1

[3] #5 4.OA.B.4 작은 문제 나: $20187$을 $8$로 나눈 나머지를 구합니다. 여기서 "$1000 = 8 \times 125$가 $8$의 배수" 라는 사실을

[4] #7 4.NBT.B.6 이제 $187$을 $8$로 직접 나눕니다. $187$ 보다 크지 않은 $8$의 배수 중 가장 큰 것은 $8 \times 23 = 184$이고,

[5] #7 4.NBT.B.6 두 작은 문제의 결과를 합치면 $20187 \bmod 8 = 187 \bmod 8 = 3$. 따라서 나머지는 $3$, 답은 (B)입니다.

검토

합리성 확인: $8$로 나눈 나머지는 반드시 $0$ 이상 $7$ 이하의 정수여야 하는데, $3$은 이 범위 안에 들어옵니다. 직접 나눗셈으로 검산해 봅시다 — $20187 \div 8$의 몫은 $2523$이고 ($8 \times 2523 = 20184$), $20187 - 20184 = 3$이라 나머지 $3$이 맞습니다. $U = 7$도 마찬가지로 검증되는데, $20187 \div 9 = 2243$으로 딱 떨어집니다 ($9 \times 2243 = 20187$). 양쪽 모두 일치하므로 답 (B) $3$은 안전합니다.

대안 접근: 도구 #3 (가능성 지우기)과 직접 나눗셈의 결합도 좋습니다. $U = 7$이 정해진 뒤 $20187 \div 8$을 한 번 길게 나누어 나머지가 $3$이 나오면, 선택지 (A) $1$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$은 한꺼번에 모두 제거되어 (B)만 남습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.4 다자릿수 자연수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 ($9$의 배수 판정에서 이미 알고 있는 네 자리 숫자를 더해 $2 + 0 + 1 + 8 = 11$을 얻고, 식 $11 + U$ 를 세우는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수쌍 찾기와 배수 인식, 소수·합성수 판별 ($11 + U$ 가 $9$의 배수가 되도록 $U = 7$을 찾고, $1000$이 $8$의 배수이므로 $1000$의 배수도 모두 $8$의 배수라는 관찰에 사용.)
4.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수에 대한 자연수 몫과 나머지 구하기 ($187$을 $8$로 나누어 몫 $23$과 나머지 $3$을 구하는 마지막 핵심 계산에 사용 — 이 나머지가 곧 정답.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 배수 판정법과 "나머지 있는 나눗셈" 만 알면 풀 수 있어요!