AMC 8 · 2019 · #19

쉬운 모드 학년 4

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문제

토너먼트에 팀이 6개 있다고 생각해봅시다. 모든 팀은 다른 모든 팀과 정확히 두 번씩 경기를 합니다.

점수 규칙은 간단합니다. 이긴 팀은 $3$ 점을 받습니다. 비기면 각 팀이 $1$ 점씩 받습니다. 진 팀은 $0$ 점을 받습니다.

모든 경기가 끝난 뒤, 가장 점수가 높은 세 팀의 총점이 모두 같았습니다. 즉, 상위 세 팀은 서로 점수가 똑같았어요.

이때 상위 세 팀이 가질 수 있는 점수 중에서 가장 큰 점수를 구하려고 합니다.

그 가장 큰 점수는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $6$ 개 팀이 풀리그 방식으로 경기를 치르는데, 모든 짝이 정확히 두 번씩 맞붙습니다. 한 경기에서 승리하면 $3$ 점, 무승부면 $1$ 점, 패배면 $0$ 점을 받습니다. 총 $30$ 경기가 끝난 뒤 상위 세 팀의 총점이 모두 같았다면, 그 공통된 총점이 가질 수 있는 가장 큰 값은 얼마인가요?

주어진 것: $6$ 개 팀, 각 짝이 $2$ 번씩 경기 → 총 $\binom{6}{2} \times 2 = 30$ 경기; 승 $= 3$ 점, 무 $= 1$ 점(각 팀), 패 $= 0$ 점; 최종 순위에서 상위 세 팀의 총점이 같음; 선택지: (A) $22$, (B) $23$, (C) $24$, (D) $26$, (E) $30$

구하는 것: 상위 세 팀이 공통으로 가질 수 있는 총점의 최댓값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #6 추측하고 확인하기

가장 깔끔한 접근은 각 상위 팀이 치르는 $10$ 경기를 두 묶음으로 나누는 것입니다 — (가) 하위 세 팀과의 경기(여기서는 마음껏 이겨도 됨), (나) 다른 상위 팀과의 경기(한 팀이 얻은 점수는 다른 상위 팀이 잃는 점수). 이것이 바로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다. 이렇게 나눠서 최댓값을 구한 뒤, 도구 #3(가능성 지우기)으로 남은 선택지 — 특히 $26$과 $30$ — 을 점검하여 $24$가 진짜로 도달 가능한 최댓값인지 확인합니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

두 그룹 이름 붙이기

상위 세 팀을 $A, B, C$, 하위 세 팀을 $D, E, F$ 라 합시다.
각 팀은 $10$ 경기를 치르는데, 그중 다른 그룹과 $6$ 경기, 같은 그룹 안에서 $4$ 경기를 합니다.
작은 문제 1은 "상위 팀이 $D, E, F$ 와의 경기에서 얻을 수 있는 최대 점수는?" 이고, 작은 문제 2는 "$A, B, C$ 끼리의 경기에서 점수를 어떻게 나누는가?" 입니다.

$$6 \text{ 외부 경기} + 4 \text{ 내부 경기} = 10 \text{ 경기/팀}$$

💡 $10$ 경기를 두 묶음으로 쪼개는 것이 도구 #7 — 쪼개고 나면 각 조각이 작고 쉬운 셈 문제가 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 2

다른 그룹 경기 점수 구하기

작은 문제 1을 풉니다.
점수를 최대로 만들기 위해 $A, B, C$ 각자가 $D, E, F$ 와의 $2$ 경기를 모두 이긴다고 둡니다 — 하위 그룹 상대로 $6$ 승.
따라서 상위 팀 한 팀당 외부 경기에서 $6 \times 3 = 18$ 점을 얻고, 이 승리들은 서로 충돌하지 않습니다 (상위 팀끼리 같은 경기를 두고 다투지 않기 때문).

$$6 \text{ 승} \times 3 \text{ 점/승} = 18 \text{ 점 (외부 경기에서)}$$

💡 $6 \times 3$으로 $6$ 승의 점수를 세는 것은 3학년 곱셈 문장제 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

그룹 내 점수 나누기

작은 문제 2를 정리합니다.
상위 그룹 안에서는 $\binom{3}{2} \times 2 = 6$ 경기가 치러집니다.
승부가 나면 한 경기에서 $3+0=3$ 점이 나오고, 무승부면 $1+1=2$ 점만 나옵니다.
그러므로 상위 세 팀이 내부 경기에서 함께 가질 수 있는 점수의 최댓값은 $6 \times 3 = 18$ 점이고, 셋이 똑같이 나누면 $18 \div 3 = 6$ 점씩 — 단, 실제로 모든 팀이 정확히 $6$ 점을 받는 결과를 만들어 낼 수 있어야 합니다.

$$\dfrac{6 \text{ 경기} \times 3 \text{ 점}}{3 \text{ 팀}} = 6 \text{ 점/팀 (상한)}$$

💡 승부 경기($3$ 점 배분)와 무승부($2$ 점 배분)를 비교하면 무승부는 점수를 "버리는" 셈이라, 최대를 노릴 때는 승부 경기만 봅니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 4

6점이 가능한지 보이기

$6$ 점씩을 실제로 만들 수 있음을 보입니다.
세 짝 ($A$ 대 $B$, $A$ 대 $C$, $B$ 대 $C$)이 각각 두 경기를 하므로, 각 짝에서 두 팀이 한 경기씩 나눠 이기게 만듭니다.
그러면 모든 상위 팀이 내부 경기에서 $2$ 승 $2$ 패를 거두고, $2 \times 3 + 2 \times 0 = 6$ 점을 얻어 셋이 정확히 같습니다.

$$2 \times 3 + 2 \times 0 = 6 \text{ 점 (내부 경기에서)}$$

💡 승수를 세고 그 승수를 점수로 바꾸는 두 단계 문장제는 3학년 사칙연산 풀이 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 5

두 점수 더하기

두 조각의 결과를 더해 상위 팀의 총점을 구합니다: $18 + 6 = 24$ 점.
따라서 $24$ 점은 도달 가능하고 등점 조건을 만족하는 최댓값이므로 답은 $\textbf{(C) }24$입니다.

$$18 + 6 = 24 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $18+6$ 같은 두 자리 수 덧셈은 2학년 유창성 단계 — 마지막 한 줄로 논증을 마무리합니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 6

더 큰 선택지 지우기

더 큰 선택지들을 도구 #3(가능성 지우기)으로 검증합니다.
$\textbf{(E) }30$은 $A, B, C$ 가 모든 경기를 이겨야 한다는 뜻인데 — 상위 팀끼리의 경기에서 두 팀이 동시에 이길 수는 없으므로 불가능.
$\textbf{(D) }26$은 팀당 내부 경기에서 $26 - 18 = 8$ 점, 셋 합 $24$ 점이 필요한데 내부 경기는 $6$ 경기뿐이고 거기서 나올 수 있는 점수 총합의 최댓값은 $6 \times 3 = 18$ 점뿐입니다.
따라서 $24$가 진짜 최댓값입니다.

$$\text{내부 점수 총합 최댓값} = 6 \times 3 = 18 < 24 = 3 \times 8 \;\Rightarrow\; 26 \text{ 불가능}$$

💡 깔끔한 상한을 이용해 객관식 보기를 지우는 것이 도구 #3 — 이로써 답이 $24$에 고정됩니다.

[1] #7 4.OA.A.3 상위 세 팀을 $A, B, C$, 하위 세 팀을 $D, E, F$ 라 합시다. 각 팀은 $10$ 경기를 치르는데, 그중 다른 그룹과 $6$ 경기

[2] #7 3.OA.A.3 작은 문제 1을 풉니다. 점수를 최대로 만들기 위해 $A, B, C$ 각자가 $D, E, F$ 와의 $2$ 경기를 모두 이긴다고 둡니다 — 하위

[3] #7 4.OA.A.3 작은 문제 2를 정리합니다. 상위 그룹 안에서는 $\binom{3}{2} \times 2 = 6$ 경기가 치러집니다. 승부가 나면 한 경기에서

[4] #7 3.OA.D.8 $6$ 점씩을 실제로 만들 수 있음을 보입니다. 세 짝 ($A$ 대 $B$, $A$ 대 $C$, $B$ 대 $C$)이 각각 두 경기를 하므로,

[5] #7 2.NBT.B.5 두 조각의 결과를 더해 상위 팀의 총점을 구합니다: $18 + 6 = 24$ 점. 따라서 $24$ 점은 도달 가능하고 등점 조건을 만족하는 최댓

[6] #3 4.OA.A.3 더 큰 선택지들을 도구 #3(가능성 지우기)으로 검증합니다. $\textbf{(E) }30$은 $A, B, C$ 가 모든 경기를 이겨야 한다는

검토

합리성 확인: $30$ 경기에서 배분되는 점수의 총합 최댓값은 $30 \times 3 = 90$ 점입니다(모든 경기가 승부로 끝났을 때). 상위 세 팀이 $24$ 점씩 가져가면 합쳐 $72$ 점이고, 하위 세 팀에게 남는 점수는 최대 $90 - 72 = 18$ 점입니다 — 하위 팀끼리의 내부 $6$ 경기에서 서로 점수를 주고받아 한 팀당 $6$ 점씩, 합 $18$ 점을 얻고 상위 팀에게는 모두 진다고 두면 정확히 맞습니다. 전체 점수 계산이 모순 없이 맞아떨어지므로 $24$ 점은 타당합니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지를 직접 대입해 봅니다. 후보 총점을 $T$ 라 하면 팀당 내부 점수는 $T - 18$ 점이고, 상위 세 팀이 내부에서 가져가야 할 점수 합은 $3(T-18)$ 점입니다. 내부에서 나올 수 있는 점수 총합은 $6 \times 3 = 18$ 점이 한계이므로 $3(T-18) \le 18$, 즉 $T \le 24$. $T = 24$ 일 때 정확히 $18$ 점이 필요하고 한 짝당 한 번씩 이기는 구성이 그것을 정확히 채워 줍니다. $T = 23, 22$도 가능하지만 더 작으므로, 최댓값은 $T = 24$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.NBT.B.5 $100$ 이내 덧셈·뺄셈 유창성 (두 작은 문제의 결과 $18 + 6 = 24$를 더해 상위 팀의 총점을 마무리하는 데 사용.)
3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (하위 그룹 상대 $6$ 승에서 얻는 점수 $6 \times 3 = 18$ 점을 계산.)
3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 $100$ 이내의 두 단계 문장제 해결 (상위 그룹 내부에서 $2$ 승 $2$ 패를 세고, 이를 점수 $2 \times 3 + 2 \times 0 = 6$ 점으로 환산.)
4.OA.A.3 자연수의 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 ($10$ 경기를 두 묶음으로 쪼개 정리하고, 내부 경기 점수 상한 $6 \times 3 = 18$ 점을 잡아 보기 $26$과 $30$을 지우는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "여러 단계 문장제" 만 알면 풀 수 있어요 — 경기를 두 묶음으로 쪼개서 곱하고 더하면 끝!