경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2019 · #19

학년 4 logiccounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

systematic-enumerationlogical-deductionoptimization-counting caseworkoptimization-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logical-deductionmulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

6 개 팀이 풀리그 방식으로 경기를 치르는데, 모든 짝이 정확히 두 번씩 맞붙습니다. 한 경기에서 승리하면 3 점, 무승부면 1 점, 패배면 0 점을 받습니다. 총 30 경기가 끝난 뒤 상위 세 팀의 총점이 모두 같았다면, 그 공통된 총점이 가질 수 있는 가장 큰 값은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

가장 깔끔한 접근은 각 상위 팀이 치르는 10 경기를 두 묶음으로 나누는 것입니다 — (가) 하위 세 팀과의 경기(여기서는 마음껏 이겨도 됨), (나) 다른 상위 팀과의 경기(한 팀이 얻은 점수는 다른 상위 팀이 잃는 점수). 이것이 바로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다. 이렇게 나눠서 최댓값을 구한 뒤, 도구 #3(가능성 지우기)으로 남은 선택지 — 특히 26과 30 — 을 점검하여 24가 진짜로 도달 가능한 최댓값인지 확인합니다.

1STEP 1

두 그룹 이름 붙이기

상위 세 팀 A, B, C 와 나머지 D, E, F. 각 팀은 10 경기 — 외부 6, 내부 4 — 를 치르니 두 종류를 따로 봅니다.

6 외부 경기 + 4 내부 경기 = 10 경기/팀

2STEP 2

다른 그룹 경기 점수 구하기

작은 문제 1: 각 상위 팀이 D, E, F 를 두 번씩 모두 이겨 6 승 — 외부 경기에서 18 점, 서로 충돌 없음.

6 승 × 3 점/승 = 18 점 (외부 경기에서)

3STEP 3

그룹 내 점수 나누기

작은 문제 2: 내부 6 경기는 승부가 날 때만 3 점씩 → 많아야 18 점, 셋으로 나눠 6 점씩 — 실제로 가능하다면.

(6 경기 × 3 점)/(3 팀) = 6 점/팀 (상한)

승부 경기(3 점 배분)와 무승부(2 점 배분)를 비교하면 무승부는 점수를 "버리는" 셈이라, 최대를 노릴 때는 승부 경기만 봅니다.

최상위 세 팀이 자기들끼리 벌이는 경기에서, 각 팀이 얻을 수 있는 점수는 많아야 6점이다.

▸ 왜?

최상위 세 팀이 서로 맞붙는 경기는 단 6경기뿐이고, 그 6경기가 내주는 점수의 합은 많아야 18점이다.

▸ 왜?

세 팀끼리의 경기는 정확히 세 짝 — A대B, A대C, B대C — 을 각각 두 번씩 치른 것이라, 그런 경기는 모두 6경기이고 그 밖에는 없다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

한 경기가 내주는 점수는 3점을 넘지 않으므로, 6경기가 내주는 점수는 많아야 6 × 3 = 18점이다.

▸ 왜?

한 경기가 내주는 점수는 두 팀의 점수를 더한 것이다: 승부가 나면 3 + 0 = 3점, 무승부면 1 + 1 = 2점이라, 한 경기는 결코 3점을 넘겨 내주지 않는다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

각각 많아야 3점을 내주는 6경기는 많아야 3이 든 묶음 6개, 곧 18점을 만든다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

세 팀이 동점으로 끝나므로 그들의 내부 점수는 서로 같고, 합이 많아야 18인 세 개의 같은 값은 각각 많아야 6이다.

▸ 왜?

각 팀의 내부 점수는 최종 총점에서 바깥 경기 18점을 뺀 값인데, 최종 총점이 서로 같고 바깥 점수도 서로 같으니 내부 점수도 같게 나온다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

합쳐서 많아야 18인 세 개의 같은 내부 점수는 합이 많아야 18인 같은 묶음 3개를 이루므로, 각각은 많아야 6이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

4.OA.A.3Identify Subproblems

4STEP 4

6점이 가능한지 보이기

실현 방법: 세 짝 (A–B, A–C, B–C)이 각각 한 경기씩 나눠 이기면 모든 상위 팀이 내부 2 승 2 패로 6 점.

2 × 3 + 2 × 0 = 6 점 (내부 경기에서)

5STEP 5

두 점수 더하기

두 조각을 더하면 상위 팀당 24 점 — 도달 가능하고 등점이므로 답은 (C).

18 + 6 = 24 → (C)

6STEP 6

더 큰 선택지 지우기

더 큰 보기 제외: 30은 전승이라 상위 팀끼리는 불가능; 26은 내부 24 점이 필요하나 최대 18 점뿐 — 답은 24.

내부 점수 총합 최댓값 = 6 × 3 = 18 ＜ 24 = 3 × 8 → 26 불가능

정답

30 경기에서 배분되는 점수의 총합 최댓값은 30 × 3 = 90 점입니다(모든 경기가 승부로 끝났을 때). 상위 세 팀이 24 점씩 가져가면 합쳐 72 점이고, 하위 세 팀에게 남는 점수는 최대 90 - 72 = 18 점입니다 — 하위 팀끼리의 내부 6 경기에서 서로 점수를 주고받아 한 팀당 6 점씩, 합 18 점을 얻고 상위 팀에게는 모두 진다고 두면 정확히 맞습니다. 전체 점수 계산이 모순 없이 맞아떨어지므로 24 점은 타당합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "여러 단계 문장제" 만 알면 풀 수 있어요 — 경기를 두 묶음으로 쪼개서 곱하고 더하면 끝!

두 그룹 이름 붙이기
다른 그룹 경기 점수 구하기
그룹 내 점수 나누기
6점이 가능한지 보이기
두 점수 더하기
더 큰 선택지 지우기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

두 그룹 이름 붙이기

다른 그룹 경기 점수 구하기

그룹 내 점수 나누기

6점이 가능한지 보이기

두 점수 더하기

더 큰 선택지 지우기

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