AMC 10 · 2016 · #15

학년 4 geometry-2d
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known
parityparity-coloringlogical-deduction parity-coloring ↑ 선수 지식: parity
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제
1부터 9까지의 숫자를 3×3 격자의 각 칸에 하나씩 적는데, 두 수가 연속이면(예: 4와 5) 그 두 칸이 변을 맞대고 있어야 한다. 네 모서리 칸의 합이 18일 때, 가운데 칸의 수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
5
(B)
6
(C)
7
(D)
8
(E)
9

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

격자를 직접 채워 보는 것은 경우의 수가 많아 느리다. 대신 격자를 체스판처럼 색칠한다(도구 #1). 사슬 1→2→…→9는 변을 맞댄 칸으로만 이동하는데, 그때마다 색이 바뀌므로 수의 홀짝 패턴이 색과 정확히 맞물린다(도구 #5). 홀수와 짝수의 개수를 세면 모서리와 가운데가 어느 색이어야 하는지 결정되고(도구 #3), 격자를 완성하지 않고도 모서리와 가운데의 합이 고정된다.

1STEP 1

격자를 체스판처럼 색칠하기

격자를 체스판처럼 칠하면 모서리·가운데 다섯 칸이 진한 색이고 이웃 칸은 늘 색이 다르다.

● & ° & ● ; ° & ● & ° ; ● & ° & ● ; ●=진한 색 (5), °=연한 색 (4)
2STEP 2

홀짝을 색과 맞추기

사슬 1→2→…→9는 한 걸음마다 색과 홀짝이 함께 뒤집혀, 진한 칸은 모두 같은 홀짝이 된다.

1_●→2_°→3_●→4_°→…
3STEP 3

홀수를 다섯 진한 칸에 몰아넣기

홀수는 다섯 개, 짝수는 네 개뿐이라 진한 다섯 칸은 홀수여야 하며 그 합은 25이다.

1+3+5+7+9 = 25
4STEP 4

빼서 가운데만 남기기

다섯 진한 칸의 합 25에서 모서리 합 18을 빼면 가운데는 25 - 18 = 7, 즉 (C)이다.

가운데 = 25 - 18 = 7 = (C)
정답
7
구체적인 격자가 이를 확인해 준다. 행이 3 4 5 / 2 7 6 / 1 8 9 인 배치는 사슬 1→2→…→9를 변을 맞댄 칸들을 따라 그리므로 규칙에 맞는다. 모서리는 3+5+1+9=18로 조건에 맞고, 가운데는 7로 홀수이며 진한 칸 논증이 요구하는 그대로다. 모서리와 가운데 칸 {1,3,5,7,9}의 합은 25이고, 25-18=7과 일치한다.
💡핵심 정리

격자를 체스판처럼 색칠하면 연속한 수는 반드시 다른 색으로 건너뛰어야 하므로, 모서리와 가운데 다섯 칸이 바로 다섯 홀수가 된다. 그리고 25-18이 가운데를 남긴다.

  • 격자를 체스판처럼 색칠하기
  • 홀짝을 색과 맞추기
  • 홀수를 다섯 진한 칸에 몰아넣기
  • 빼서 가운데만 남기기

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