경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2000 · #19

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlesarea-trianglesspatial-visualizationreflection-symmetry area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 모두 5 인 세 개의 호로 둘러싸인 영역이 있습니다. 호 AB 와 AD 는 아래 두 모서리에서 안쪽으로 들어간 사분원이고, 호 BCD 는 위쪽으로 볼록한 반원입니다. 이 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$10+5\pi$

(C)

(D)

$50+5\pi$

(E)

$25\pi$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

겉모습은 구불구불하지만, asy 좌표를 보면 가운데에 깔끔한 직사각형이 숨어 있습니다. B=(-5,5)와 D=(5,5)는 A=(0,0) 바로 위에 있죠. 도구 #1(그림 그리기)로 선분 BD 를 그어 영역을 둘로 나눕니다. BD 위는 지름이 BD 인 반원, 아래는 10 × 5 직사각형의 두 아래 모서리에서 사분원만큼 파인 모양입니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 세 개의 익숙한 도형(직사각형·반원·사분원)의 넓이만 계산하면 끝. 핵심은: 위에 붙은 반원의 넓이가 아래에서 파인 사분원 두 개의 합과 정확히 같습니다(25π/2 = 2 · 25π/4). π 항이 서로 상쇄되어 직사각형 넓이만 남습니다.

1STEP 1

그림에서 좌표 읽기

선분 BD 를 긋습니다. B=(-5,5), D=(5,5) 라서 가로 길이 10, 영역이 위·아래 두 조각으로 나뉩니다.

BD = 5 - (-5) = 10

2STEP 2

위쪽 넓이 구하기

윗부분: 호 BCD 는 지름 10, 반지름 5 인 반원이라 넓이는 25π/2.

A_윗 = 1/2π(5)² = 25π/2

3STEP 3

아래쪽 넓이 구하기

아랫부분: 10×5 직사각형(넓이 50)에서 두 아래 모서리마다 반지름 5 사분원을 파내, 넓이는 50 - 25π/2.

A_아랫 = 10 × 5 - 2 · 1/4π(5)² = 50 - 25π/2

4STEP 4

두 부분 더하기

더하면: 위의 + $\frac{25π}{2}$ 와 아래의 - $\frac{25π}{2}$ 가 상쇄되어 직사각형만 남고, 넓이는 50.

A_전체 = 25π/2 + (50 - 25π/2) = 50 → (C)

동류항 정리: 부호가 반대인 π 항은 합이 0, 상수 50만 남습니다.

전체 영역의 넓이는 10 × 5 직사각형의 넓이, 즉 50 제곱단위와 같다. 위에 붙인 반원의 넓이가 아래에서 파낸 두 개의 사분원 넓이와 정확히 같아서 서로 상쇄되기 때문이다.

▸ 왜?

선분 BD를 따라 자르면 영역이 빈틈도 겹침도 없이 위쪽 반원과 아래쪽 '두 곳이 파인 직사각형'으로 나뉘므로, 영역의 넓이는 직사각형 넓이에서 파낸 두 조각을 빼고 반원을 더한 것이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

위쪽 반원과 아래에서 파낸 두 사분원의 넓이가 같으므로 '두 조각을 빼고 반원을 더하기'는 전체적으로 아무것도 더하지 않은 셈이 되어, 영역의 넓이는 직사각형의 넓이만 남는다.

▸ 왜?

파낸 각 사분원은 늘이지 않고 위로 밀어 올리면 반원의 한쪽 절반을 정확히 채우고, 도형을 옮겨도 넓이는 변하지 않으므로, 두 사분원과 반원의 넓이는 같다.

▸ 왜?

도형을 밀거나 돌리면 복사본에 그대로 포개지므로 모든 길이와 각이 그대로 유지되고 넓이도 변하지 않는다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

파낸 조각 하나하나와 반원의 각 절반은 모두 한 모서리에서 반지름만큼 뻗은 사분원 부채꼴이고, 이 반지름들이 모두 5로 같으므로 조각들은 모양과 크기가 일치한다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

어떤 넓이를 덜어냈다가 같은 넓이를 다시 더하면 처음 자리로 되돌아온다. 두 연산이 서로를 되돌리기 때문이다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

직사각형은 가로 10, 세로 5이고, 그 넓이는 단위 정사각형 10개가 5줄, 즉 10 곱하기 5이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

6.EE.A.3Identify Subproblems

정답

아래에서 파낸 사분원 두 개를 합치면 반지름 5 짜리 반원이 되고, 이는 위에 붙은 반원과 똑같은 모양입니다. 파인 조각을 하나씩 들어 위 반원의 짝맞는 자리에 끼우면, 곡선 영역이 정확히 10 × 5 직사각형으로 재배열됩니다 — 넓이 50. 이로써 (A) 25는 너무 작고(직사각형만 해도 50), (E) 25π ≈ 78.5는 너무 큽니다(10 × 10 외접 정사각형 넓이 100 안에 들어가지만 그보다는 분명 작음). (B), (D)는 π 항이 남아 있어야 가능한 답이므로 제외. 깔끔한 정수 50이 (C)와 일치합니다.

💡핵심 정리

선분 BD 로 자르면 위에 붙은 반원의 넓이가 아래 직사각형에서 파인 두 사분원의 합과 같습니다. π 항은 깔끔하게 상쇄되고, 답은 직사각형 넓이 10 × 5 = 50 뿐입니다.

그림에서 좌표 읽기
위쪽 넓이 구하기
아래쪽 넓이 구하기
두 부분 더하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

그림에서 좌표 읽기

위쪽 넓이 구하기

아래쪽 넓이 구하기

두 부분 더하기

비슷한 유형 더 풀어보기