경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2014 · #20

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-rectanglesarea-circlesestimation area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

3 × 5 크기의 직사각형 ABCD 의 세 꼭짓점에 원이 그려져 있습니다 — A 에 반지름 1, B 에 반지름 2, C 에 반지름 3. 직사각형 안쪽 부분만 따집니다. 직사각형 내부에서 어느 원에도 덮이지 않은 영역의 넓이를 구하고, 보기 중 가장 가까운 값을 고릅니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3.5

(B)

4.0

(C)

4.5

(D)

5.0

(E)

5.5

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

구하려는 영역은 "직사각형에서 세 모서리 조각을 잘라낸 나머지" 이므로, 자연스러운 접근은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다 — 직사각형 넓이 계산, 각 사분원 넓이 계산, 그리고 빼기. 도구 #1(그림 그리기)은 "원의 어느 부분이 직사각형 안에 들어오는가"(꼭짓점에서는 정확히 사분원)를 정확히 보게 해 주고, 사분원들이 서로 겹치지 않는지 그림에서 미리 확인할 수 있게 해 줍니다.

1STEP 1

직사각형 넓이 구하기

직사각형 넓이는 DA × CD = 5 × 3 = 15 — 여기서 모서리 조각을 잘라냅니다.

직사각형 넓이 = 5 × 3 = 15

2STEP 2

원의 사분의 일씩 구하기

각 90° 꼭짓점은 정확히 사분원만 가두므로, 각 원에 넓이 공식 $\frac{1}{4}$ π r² 을 적용합니다.

넓이_A = 1/4π(1)² = 0.25π, 넓이_B = 1/4π(2)² = π, 넓이_C = 1/4π(3)² = 2.25π

3STEP 3

겹치지 않는지 확인하기

겹침 확인: 1+2=3=AB, 2+3=5=BC 라 사분원들은 점에서만 닿아 중복 없이 더합니다.

1 + 2 = 3 = AB, 2 + 3 = 5 = BC

조각들이 겹치지 않아야 "각 조각을 따로 계산해 더한다" 는 작은 문제 쪼개기가 정당합니다 — 변 길이 검산으로 확인.

직사각형 안의 세 사분원은 서로 겹치지 않으므로, 원들이 그 안에서 덮는 전체 넓이는 세 사분원 넓이를 그냥 더한 값과 정확히 같다(0.25π + π + 2.25π = 3.5π).

▸ 왜?

각 꼭짓점 원 중 직사각형 안에 들어오는 부분은 그 원의 정확히 4분의 1인데, 꼭짓점에서 만나는 두 변이 직각을 이루어 90도짜리 부채꼴을 잘라내기 때문이다 — 이는 360도 원 전체를 나눈 네 개의 같은 사분원 중 하나다.

▸ 왜?

중심을 지나는 두 수직 절단선은 원을 네 부채꼴로 나누고, 중심을 기준으로 4분의 1 바퀴 돌리면 각 부채꼴이 다음 부채꼴에 정확히 포개지므로 넷은 같은 넓이를 덮고 꼭짓점 부채꼴은 그중 하나다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

세 사분원은 오직 한 점에서만 만나고 넓이를 전혀 공유하지 않으므로, 나란히 놓고 세 넓이를 더하면 덮인 모든 자리를 딱 한 번씩만 센다.

▸ 왜?

변 AB를 따라 A의 원은 1만큼, B의 원은 2만큼 뻗고 1+2=3은 AB 전체 길이라 두 원의 가장자리가 겨우 맞닿는다; 변 BC에서도 2+3=5=BC로 마찬가지이며, A와 C의 원은 직사각형을 가로질러 서로 닿기엔 너무 멀리 떨어져 있다.

▸ 왜?

원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있고 그 이상은 아니므로, A의 원은 A에서 1 이내의 점만, B의 원은 B에서 2 이내의 점만 덮는다 — AB를 따라 두 뻗음이 변 길이만큼 더해지고 거기서 멈춘다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

겹치지 않는 조각들은 그대로 더해진다: 모두 합친 넓이는 각 넓이의 합일 뿐이며 두 번 세는 것이 없다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

7.G.B.6Identify Subproblems

4STEP 4

사분원 넓이 더하기

겹치지 않는 세 사분원을 더하면 0.25π + π + 2.25π = 3.5π 가 덮인 면적입니다.

덮인 면적 = 0.25π + π + 2.25π = 3.5π

5STEP 5

빼고 선택지와 비교하기

안 덮인 면적 = 15 - 3.5π ≈ 15 - 10.99 = 4.01, 보기 (B) 4.0에 가장 가깝습니다.

15 - 3.5π ≈ 15 - 3.5(3.14) = 15 - 10.99 = 4.01 → (B) 4.0

정답

4.0

크기 감을 확인합니다. 직사각형 넓이는 15, 세 사분원 합은 3.5π ≈ 11로 직사각형의

\frac{2}{3}

보다 살짝 큽니다 — 그림을 보면 C 의 큰 사분원만으로도 모서리 하나가 통째로 사라지므로 시각적으로 자연스럽습니다. 따라서 남은 넓이는 한 자릿수의 작은 값이 되어야 하고, 15 - 11 = 4는 선택지 범위 (3.5, 4.0, 4.5, 5.0, 5.5) 중앙에 정확히 들어갑니다. 3.5π 가 11에 매우 가깝다는 사실과 일치하는 보기는 (B) 뿐입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 원 넓이 공식과, L자 도형에서 이미 쓰던 "조각으로 나눠 더하고 빼기" 만 알면 풀 수 있어요.

직사각형 넓이 구하기
원의 사분의 일씩 구하기
겹치지 않는지 확인하기
사분원 넓이 더하기
빼고 선택지와 비교하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

직사각형 넓이 구하기

원의 사분의 일씩 구하기

겹치지 않는지 확인하기

사분원 넓이 더하기

빼고 선택지와 비교하기

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