경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2012 · #24

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlesarea-rectanglescoordinate-geometryspatial-visualization area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlespythagorean-theoremcoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 2 인 원을 네 개의 합동인 호(각각 4분원)로 자른 뒤, 그 네 호를 다시 이어붙여 네 갈래의 "별" 모양을 만듭니다. 별의 변은 안쪽으로 휘어 들어가 있습니다. 이 별의 넓이와 원래 원의 넓이의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4-\pi}{\pi}$

(B)

$\frac{1}{\pi}$

(C)

$\frac{\sqrt{2}}{\pi}$

(D)

$\frac{\pi-1}{\pi}$

(E)

$\frac{3}{\pi}$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

별은 곡선으로 둘러싸인 이상한 모양이라 넓이 공식을 한 번에 적용할 수 없습니다. 그래서 먼저 도구 #1(그림 그리기)이 핵심입니다 — 별의 네 꼭짓점이 변의 한가운데에 닿도록 한 변 4 인 정사각형을 그려 보면, 정사각형에서 별을 뺀 "네 모서리" 가 사실 반지름 2의 4분원 네 개이고, 그 네 개를 합치면 정확히 원래 원 하나라는 사실이 한눈에 보입니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "4 × 4 정사각형 넓이" 와 "반지름 2 인 원 넓이" 라는 두 개의 익숙한 부분 문제로 나눕니다. 별의 넓이는 정사각형에서 원을 뺀 값이고, 비는 간단한 나눗셈으로 떨어집니다.

1STEP 1

별을 좌표에 그리기

별의 네 꼭짓점을 좌표축 위에 놓고, 정사각형 x,y = ±2로 감쌉니다: 한 변 4, 넓이는 16.

정사각형 한 변 = 4, A_정사각형 = 4 × 4 = 16

2STEP 2

남은 모서리 살펴보기

정사각형 네 모서리 조각(두 변 + 안쪽 호 하나)은 각각 정확히 반지름 2의 4분원, 넓이 π.

한 모서리 조각 = 1/4 π (2)² = π

3STEP 3

네 모서리 조각 더하기

네 4분원은 반지름 2 인 원 하나로 합쳐집니다 — 바로 원래 원 — 총 넓이 4π.

4 × 1/4π(2)² = π(2)² = 4π

반지름이 같은 4분원 네 개는 원 하나가 됩니다. 덕분에 뺄셈이 한층 깔끔해집니다.

별과 그 별을 둘러싸는 정사각형 사이의 네 조각은 서로 합쳐져 정확히 반지름 2인 원 하나 — 바로 호들이 잘려 나온 그 원 — 을 이룬다.

▸ 왜?

그 네 조각은 각각 정사각형의 한 모퉁이에 자리하며, 그 모퉁이에서 직각으로 만나는 정사각형의 두 변과 별의 안쪽으로 굽은 호로 둘러싸여 있어, 반지름 2인 원의 정확히 4분의 1(사분원 조각)이 된다.

▸ 왜?

그 안쪽 호는 원래 반지름 2인 원을 넷으로 자른 사분호 중 하나이고, 그 중심이 정사각형 모퉁이에 놓이므로, 굽은 벽은 그 모퉁이에서 내내 2만큼 떨어져 있다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

두 곧은 벽은 각각 그 모퉁이에서 이웃한 별의 뾰족한 점까지 뻗고, 그 점들은 같은 반지름 2 호의 양 끝점이므로, 각 곧은 벽은 그 원의 반지름이 되어 길이가 2이다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

네 모퉁이 조각은 서로 똑같으므로, 한 중심을 공유하도록 밀어 모으면 그 점 둘레를 빈틈도 겹침도 없이 채워 반지름 2인 원 하나를 온전히 덮는다.

▸ 왜?

별과 정사각형 그림 전체를 90도 돌리면 자기 자신에 포개지면서 각 모퉁이 조각이 다음 조각으로 옮겨지므로, 네 조각은 합동인 복사본이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

한 점 둘레를 빈틈도 겹침도 없이 채우는 네 개의 똑같은 사분 조각은 다시 더해져 그들이 이루는 원 하나 전체가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

7.G.B.4Identify Subproblems

4STEP 4

빼서 별 넓이 구하기

별의 넓이 = 정사각형 빼기 네 모서리 = 16 - 4π.

A_별 = 16 - 4π

5STEP 5

비를 세우고 약분하기

원의 넓이 4π 로 나누고 분자에서 4를 묶으면: $\frac{16 - 4π}{4π}$ = $\frac{4-π}{π}$ , 정답 (A).

A_별/A_원 = (16 - 4π)/4π = (4(4 - π))/4π = (4 - π)/π → (A)

정답

(4-π)/π

수치로 확인하면 π ≈ 3.14 이므로

\frac{4 - π}{π}

≈

\frac{0.86}{3.14}

≈ 0.27입니다. 즉 별은 원래 원의 약 27% 넓이라는 뜻이고, 그림과도 잘 맞습니다 — 별은 원보다 훨씬 작고, 원 넓이의 절반 이상이 별 바깥의 네 "초승달" 빈 곳에 들어 있습니다. 또 다섯 선택지 모두 분모에 π 가 있는데, 우리가 마지막에 4π 로 나눈 것과 정합합니다.

💡핵심 정리

별 주위에 정사각형을 그리면, 네 모서리에서 빠진 "4분원" 들이 합쳐져 원래 원이 됩니다. 그러니 별의 넓이는 정사각형에서 원을 뺀 값 — 나머지는 7학년 원 넓이 공식이 해결해 줍니다.

별을 좌표에 그리기
남은 모서리 살펴보기
네 모서리 조각 더하기
빼서 별 넓이 구하기
비를 세우고 약분하기

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별을 좌표에 그리기

남은 모서리 살펴보기

네 모서리 조각 더하기

빼서 별 넓이 구하기

비를 세우고 약분하기

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