경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2002 · #13

학년 6 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

volume-rectangular-prismexponentssimilar-figuresspatial-visualization dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticvolume-rectangular-prism

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

버트의 상자에는 젤리빈 125 개가 꽉 찹니다. 캐리의 상자는 모양은 같지만 가로, 세로, 높이가 각각 두 배입니다. 캐리의 상자에는 젤리빈이 약 몇 개 들어갈까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

250

(B)

500

(C)

625

(D)

750

(E)

1000

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

버트 상자의 실제 가로·세로·높이는 주어져 있지 않고, 부피가 125 라는 사실만 알려져 있어요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 써서 조건에 맞는 편한 수를 직접 골라 봅시다. 125 = 5 × 5 × 5 이므로 버트의 상자를 5 × 5 × 5 정육면체로 두면 부피가 정확히 125입니다. 그러면 캐리의 상자는 10 × 10 × 10이 되어 곧장 곱셈으로 답이 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 세 변이 각각 따로 두 배가 되는 것을 처리해 줘서, 부피 배율이 2 × 2 × 2 = 8 임을 보여 줍니다. 그래서 버트 상자가 어떤 모양이든 125 × 8 = 1000 이라는 같은 답이 나옵니다.

1STEP 1

편한 크기 정하기

125 = 5 × 5 × 5 이므로 버트의 상자를 5 × 5 × 5 정육면체로 봅니다.

버트: 5 × 5 × 5 = 125

2STEP 2

모든 변 2배로 늘리기

각 변을 두 배로 늘리면 5 × 5 × 5가 10 × 10 × 10 상자가 됩니다.

캐리: (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) = 10 × 10 × 10

3STEP 3

새 부피 구하기

캐리의 상자를 곱하면 10 × 10 × 10 = 1000 개가 나옵니다.

10 × 10 × 10 = 1000 → (E)

4STEP 4

배율 확인하기

배율로 확인: 세 변을 두 배 하면 부피는 2 × 2 × 2 = 8 배가 되어 캐리는 버트의 8 배가 들어갑니다.

125 × 8 = 1000

6학년 비율 추론: 각 변을 2 배 하면 부피는 2의 세제곱만큼 커집니다. 정육면체가 아니어도 어떤 직육면체든 8 배가 됩니다.

상자의 길이, 너비, 높이를 모두 두 배로 늘리면, 원래 모양이 무엇이든 담을 수 있는 젤리빈 수가 여덟 배가 된다.

▸ 왜?

상자의 부피는 길이 곱하기 너비 곱하기 높이이므로, 이 세 길이를 각각 두 배로 늘리면 부피는 원래의 (2 × 2 × 2)배로 다시 만들어진다.

▸ 왜?

상자를 단위 정육면체로 채우면 한 모서리를 따라 길이만큼, 다른 모서리를 따라 너비만큼, 위로 높이만큼 쌓이므로, 정육면체의 총개수는 이 세 길이를 서로 곱한 값이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

새 부피 (2L) × (2W) × (2H)는 곱을 바꾸지 않고 (2 × 2 × 2) × (L × W × H)로 다시 묶고 순서를 바꿀 수 있다.

▸ 왜?

여러 수를 곱할 때 어느 둘을 먼저 곱하는지 바꿔도 결과가 같으므로, 세 개의 2를 한데 모을 수 있다.

곱셈의 결합법칙세 수를 곱할 때 어느 둘을 먼저 묶든 곱은 같다.

▸ 왜?

여러 수를 곱할 때 순서를 바꿔도 결과가 같으므로, 2들을 원래 길이들과 갈라놓을 수 있다.

곱셈의 교환법칙a줄 b개와 b줄 a개는 같은 점 배열을 센다 — 가로세로만 바뀐다.

▸ 왜?

젤리빈 개수는 부피와 똑같은 배율로 늘어나므로, 부피가 여덟 배가 되면 담기는 젤리빈도 여덟 배가 된다.

▸ 왜?

젤리빈은 빈틈 없이 같은 크기의 몫으로 상자를 채우므로, 개수는 곧 젤리빈 크기 단위로 잰 부피이다; 부피에 어떤 배율을 곱하면 그 개수도 같은 배율로 곱해진다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

6.RP.A.3Identify Subproblems

정답

1000

두 가지 확인이 일치합니다. 첫째, 구체적인 5 × 5 × 5 → 10 × 10 × 10 모델로 1000이 나옵니다. 둘째, 배율 논리로 125 × 8 = 1000이 나오며 버트 상자의 모양은 필요하지 않습니다. 다른 선택지는 쉽게 제거됩니다 — 250은 한 변만 두 배일 때, 500은 두 변만 두 배일 때이고, 625 = 125 × 5는 이 문제 상황에서 기하적 의미가 없습니다. 세 변을 모두 두 배 한 경우와 맞는 값은 (E) 1000 뿐입니다.

💡핵심 정리

한 변을 두 배 하면 부피는 두 배, 두 변이면 네 배, 세 변이면 8 배가 됩니다. 그래서 캐리의 상자에는 125 × 8 = 1000 개가 들어가요.

편한 크기 정하기
모든 변 2배로 늘리기
새 부피 구하기
배율 확인하기

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모든 변 2배로 늘리기

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