경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2010 · #18

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
area-rectanglesarea-circlesratio-proportion identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-circlesratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
장식용 창문은 직사각형 ABCD 의 짧은 두 변(AB 와 CD)에 각각 반원이 하나씩 붙어 있는 모양입니다. 변의 비는 AD:AB = 3:2 이고 AB = 30 인치입니다. 직사각형의 넓이와 두 반원의 넓이 합의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2:3
(B)
3:2
(C)
$6:\pi$
(D)
$9:\pi$
(E)
$30:\pi$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

구체적인 30 인치 값은 비를 구할 때 결국 약분되어 사라지므로, 도구 #5(변수 도입하기)로 AB = 2k, AD = 3k 라고 놓으면 식이 깔끔하고 약분이 눈에 잘 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 도형을 따로 처리할 수 있는 두 부분 — 직사각형(가로 × 세로)과 두 반원(합치면 반지름 k 인 원 하나) — 으로 분리해 줍니다. 각각의 넓이를 구한 뒤 비를 잡으면 π 는 그대로 남고 k²은 깔끔히 약분됩니다.

1STEP 1

변의 길이 이름 붙이기

AD:AB = 3:2 에서 변을 AB = 2k, AD = 3k 로 놓고 k 를 그대로 둡니다 — 30은 약분돼요.

AB = 2k, AD = 3k
2STEP 2

직사각형 넓이 구하기

직사각형 넓이 = 가로 × 세로 = 3k × 2k = 6k².

직사각형 넓이 = AD × AB = 3k × 2k = 6k²
3STEP 3

반원 반지름 구하기

각 반원의 지름은 짧은 변 AB = 2k 이므로, 반지름은 r = k 입니다.

r = AB/2 = 2k/2 = k
4STEP 4

두 반원 합치기

같은 반지름의 두 반원을 붙이면 반지름 k 인 원 하나가 되므로, 합친 넓이는 π k² 입니다.

두 반원 넓이 합 = π r² = π k²
5STEP 5

두 넓이 비 구하기

6k²을 π k²으로 나누면 k²이 약분되어 비는 6:π — 선택지 (C).

(직사각형 넓이)/(두 반원 넓이 합) = 6k²/(π k²) = 6/π → 6:π → (C)
정답
6:π
실제 숫자로 검산해 봅시다. AB = 30 → k = 15 이므로 직사각형 넓이 = 6 · 15² = 1350 in², 두 반원 넓이 합 = π · 15² = 225π in². 비 1350225π\frac{1350}{225π} = 6π\frac{6}{π} 로 일치합니다. 수치로 보면 6π\frac{6}{π} ≈ 1.91이라, 직사각형이 두 반원의 합보다 거의 두 배 가깝게 큽니다 — 45 × 30의 길쭉한 직사각형이 반지름 15의 원보다 명백히 더 크다는 그림의 직관과도 잘 맞습니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 원 넓이 공식 A = π r² 에다, 6학년에서 배운 "변의 길이를 문자로 잡기" 만 더하면 풀려요. 30 인치는 사실 미끼였어요!

  • 변의 길이 이름 붙이기
  • 직사각형 넓이 구하기
  • 반원 반지름 구하기
  • 두 반원 합치기
  • 두 넓이 비 구하기

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