경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2019 · #9

학년 8 geometry-3drate-ratio
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation
volume-cylinderratio-proportionformula-substitution identify-subproblemsformula-substitution ↑ 선수 지식: area-circlesratio-proportion
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
알렉스의 고양이 사료 캔은 지름 6 cm, 높이 12 cm 의 가늘고 긴 원기둥이고, 펠리시아의 캔은 지름 12 cm, 높이 6 cm 의 낮고 넓은 원기둥입니다. 알렉스 캔의 부피와 펠리시아 캔의 부피의 비를 구해 선택지에서 고르는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1:4
(B)
1:2
(C)
1:1
(D)
2:1
(E)
4:1

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

"두 부피의 비" 라는 큰 질문은 (i) V_A 구하기, (ii) V_F 구하기, (iii) 두 값을 비로 만들어 간단히 하기, 라는 세 개의 작은 문제로 자연스럽게 쪼개집니다 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 들어맞습니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 지름과 반지름을 헷갈리지 않게 하고(r = d/2), 두 부피 모두 cm³ 단위라 비를 구할 때 단위와 π 가 모두 약분된다는 점을 잡아 줍니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)은 다지선다 안전망입니다 — 반지름이 두 배가 되면 제곱 효과로 4 배가 되고 높이는 절반이 되니, 펠리시아 캔이 더 클 것이 확실해 (C), (D), (E)가 즉시 사라집니다.

1STEP 1

지름을 반으로 나누기

공식 V = π r² h 는 반지름이 필요하니 지름을 반으로 나눕니다: r_A = 3 cm, r_F = 6 cm.

r_A = 6/2 = 3 cm, r_F = 12/2 = 6 cm
2STEP 2

알렉스의 부피 구하기

알렉스의 반지름을 제곱해 높이를 곱하면 V_A = 108π cm³ 입니다.

V_A = π (3)² (12) = π · 9 · 12 = 108π cm³
3STEP 3

펠리시아의 부피 구하기

펠리시아도 같은 식으로 (r_F = 6, h_F = 6) 계산하면 V_F = 216π cm³ 입니다.

V_F = π (6)² (6) = π · 36 · 6 = 216π cm³
4STEP 4

부피의 비 세우기

두 부피를 나누면 π 와 cm³가 약분되어 VAVF\frac{V_A}{V_F} = 108216\frac{108}{216} 만 남습니다.

V_A/V_F = 108π/216π = 108/216
5STEP 5

분수 약분하기

216 = 2 × 108 이므로 분수는 12\frac{1}{2} 로 약분되고, 비는 1 : 2 — 답은 (B)입니다.

108/216 = 1/2 → V_A : V_F = 1 : 2 → (B)
정답
1:2
스케일로 다시 확인해 봅시다. 펠리시아의 반지름은 알렉스보다 2 배(6 대 3)라 r² 효과로 부피가 4 배 늘지만, 높이는 절반(6 대 12)이라 12\frac{1}{2} 가 곱해집니다. 종합 배율은 4 × 12\frac{1}{2} = 2 — 즉 V_F = 2 V_A 이고 V_A : V_F = 1 : 2로 (B)와 일치합니다. 반지름 제곱 효과가 높이 절반 효과를 이긴다는 것도, 짧고 넓은 캔이 같은 재료를 두 배로 담아낸다는 직관과 잘 맞습니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 원기둥 부피 공식 V = π r² h 만 알면 풀 수 있어요 — 식만 세우면 π 가 약분되고 한 번에 답이 보여요!

  • 지름을 반으로 나누기
  • 알렉스의 부피 구하기
  • 펠리시아의 부피 구하기
  • 부피의 비 세우기
  • 분수 약분하기

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