경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2024 · #25

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumeration complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basicfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

비행기에는 3 개씩 4 줄, 총 12 개의 좌석이 있습니다. 이미 8 명이 무작위로 앉아 있고 4 개의 빈 좌석이 남아 있습니다. 다음에 탑승하는 부부가 같은 줄에서 옆자리 둘에 함께 앉을 수 있을 확률을 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{8}{15}$

(B)

$\frac{32}{55}$

(C)

$\frac{20}{33}$

(D)

$\frac{34}{55}$

(E)

$\frac{8}{11}$

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 / 여사건 세기

"부부가 옆자리에 앉을 수 있을 확률"은 곧 "빈 좌석 4 개 중 같은 줄에서 옆에 붙은 쌍이 적어도 한 쌍 있을 확률"입니다. "적어도"라는 말이 보이면 곧장 도구 #16(관점 바꾸기) — 반대 사건(어느 두 빈 좌석도 같은 줄에서 옆에 붙어 있지 않음)을 세는 편이 훨씬 쉽습니다. 반대 사건을 셀 때는 빈 좌석 4 개가 네 줄에 어떻게 나뉘는지로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 써서 경우를 정리합니다. 좌석 배치를 직관적으로 보기 위해 도구 #1(그림 그리기)로 4 × 3 격자를 함께 그리고, 한 줄(3 자리)에서 옆에 붙지 않게 빈 좌석을 놓는 방법이 몇 가지인지 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 미리 확인해 둡니다.

1STEP 1

한 줄에서 안 붙는 경우 세기

한 줄(3자리)만 떼어 보면, 빈 좌석이 옆에 안 붙게 놓는 수는 (0,1,2,3개)→(1,3,1,0), 2개는 양 끝만 가능해요.

한 줄당 비인접 빈 좌석 배치 수: (0,1,2,3) → (1,3,1,0)

2STEP 2

빈 자리 넷 고르는 전체 경우 세기

분모는 12자리 중 빈 좌석 4개를 뽑는 전체 경우. 순서 무관이라 조합 C(12,4)=495.

C(12, 4) = (12 × 11 × 10 × 9)/(4 × 3 × 2 × 1) = 495

3STEP 3

여사건 경우 세기

여사건은 빈 4개가 네 줄에 나뉘는 분포로 나열. 한 줄 최대 2개라 (1,1,1,1), (2,1,1,0), (2,2,0,0)뿐.

분포 후보: (1,1,1,1), (2,1,1,0), (2,2,0,0)

4STEP 4

줄별 경우의 수 곱하기

각 분포에서 줄별 (1,3,1) 가짓수를 곱하면 81, 108, 6이고, 합은 195가지.

81 + 108 + 6 = 195

5STEP 5

여사건 확률 구하기

여사건 확률은 $\frac{195}{495}$ , 최대공약수 15로 약분하면 $\frac{13}{33}$ — 부부가 함께 못 앉을 확률.

P(앉을 수 없음) = 195/495 = 13/33

6STEP 6

1에서 빼기

여사건의 법칙으로 1 - $\frac{13}{33}$ = $\frac{20}{33}$ , 이는 선택지 (C)와 정확히 일치해요.

1 - 13/33 = 20/33 → (C)

공통분모가 같은 분수 1 = 33/33 에서 13/33을 빼는 것은 5학년의 분수 덧셈·뺄셈 단원에서 곧장 배우는 계산입니다.

부부가 같은 열에서 나란히 붙은 빈 좌석 두 개를 찾을 수 있을 확률은, 네 개의 빈 좌석 중 어느 두 개도 나란히 붙어 있지 않을 확률을 1에서 뺀 값과 같다.

▸ 왜?

네 좌석을 비우는 모든 방법은 부부에게 같은 열의 나란히 붙은 자리 한 쌍을 주거나 주지 않거나 둘 중 하나이고, 두 경우가 한 배치에서 동시에 일어나지는 않으므로, 한 경우의 확률은 전체(1)에서 다른 경우의 확률을 뺀 값이다.

▸ 왜?

'나란히 붙은 빈 좌석 쌍이 있는' 배치와 '없는' 배치는 함께 모든 배치를 이루며 겹치는 것도 빠지는 것도 없으므로, 두 경우의 수를 더하면 전체 배치의 수가 된다.

▸ 왜?

각 배치를 나란히 붙은 빈 쌍이 있는지 없는지로 가르면 정확히 두 무더기 중 하나에만 들어가고, 두 번 세는 것도 빠지는 것도 없으므로 두 무더기가 전체 배치 집합을 다시 이룬다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

모든 배치가 똑같이 일어날 가능성을 가지므로 각 경우의 확률은 그 하나의 전체 집합에서 차지하는 몫일 뿐이고, 따라서 두 몫은 하나의 전체(1)를 채워야 한다.

▸ 왜?

네 개의 빈 좌석을 배치하는 모든 방법은 서로 똑같이 일어날 가능성을 가지므로, 한 경우의 확률은 바로 그 경우의 배치 수를 전체 배치 수로 나눈 값이다. '쌍이 있는' 몫과 '없는' 몫은 같은 전체를 분모로 하는 두 경우의 수이고, 두 경우의 수를 더하면 그 전체가 되므로 두 몫은 하나의 전체(1)를 이룬다.

동등한 확률모든 결과가 동등하게 일어난다면, 사건의 확률은 유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것이다.

5.NF.A.1Change Focus Count The Complement

정답

20/33

정답

\frac{20}{33}

≈ 0.606은 절반(0.5)보다 조금 크고 1보다 작은 합리적인 확률입니다. 빈 좌석이 4 개나 되고 한 줄당 옆자리 쌍이 2 군데(3 자리이므로)나 있으므로 "옆자리 쌍이 생길" 가능성이 더 높은 쪽이 자연스럽습니다. 또 다른 빠른 검산: 총 C(12, 4)=495 가지 중 옆자리 쌍이 생기는 경우의 수는 495 - 195 = 300이고,

\frac{300}{495}

\frac{20}{33}

으로 같은 값이 나옵니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 마지막 문제는 사실 7학년 때 배우는 "정리된 목록으로 경우 세기"와 "여사건의 확률" 만 알면 풀 수 있어요!

한 줄에서 안 붙는 경우 세기
빈 자리 넷 고르는 전체 경우 세기
여사건 경우 세기
줄별 경우의 수 곱하기
여사건 확률 구하기
1에서 빼기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

한 줄에서 안 붙는 경우 세기

빈 자리 넷 고르는 전체 경우 세기

여사건 경우 세기

줄별 경우의 수 곱하기

여사건 확률 구하기

1에서 빼기

비슷한 유형 더 풀어보기